大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $s=\sin a$ とおくと、$-1\leqq s\leqq 1$ である。このとき $$f(x)=2x^3-(6+3s)x^2+12sx+s^3+6s+5$$ であり、微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =6x^2-2(6+3s)x+12s}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\{x^2-(2+s)x+2s\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6(x-s)(x-2)}\end{array}$$となる。ここで $s\leqq 1$ だから $s<2$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は$$\begin{array}{cccccc}x& (-\mathrm{\infty },s)& s& (s,2)& 2& (2,\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& 0& -& 0& +\end{array}$$となる。よって $f(x)$ は $x=s$ で極大、$x=2$ で極小となり、極大値はただ1つである。

その極大値を求めると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M(a)=f(s)}& {\displaystyle =2s^3-(6+3s)s^2+12s^2+s^3+6s+5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2s^3-3s^3+s^3)+(-6s^2+12s^2)+6s+5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6s^2+6s+5}\end{array}$$である。したがって $${\displaystyle M(a)=6{\sin }^{2}a+6\sin a+5}$$ である。

(2) $s=\sin a$ とおくと、$M(a)=6s^2+6s+5$、$-1\leqq s\leqq 1$ である。平方完成して $$6s^2+6s+5=6{(s+\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{2}$$ となる。$-\frac{1}{2}$ は区間 $[-1,1]$ に含まれるから、最小値は $s=-\frac{1}{2}$ のとき ${\displaystyle \frac{7}{2}}$ である。この条件は $\sin a=-\frac{1}{2}$ であり、$0\leqq a<2\pi$ より $${\displaystyle a=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}}$$ である。

最大値は、上に開く放物線 $6(s+\frac{1}{2}{)}^2+\frac{7}{2}$ を区間 $[-1,1]$ で見るので、頂点から遠い端点で起こる。端点を比べると $$M{\mathrm{\mid }}_{s=-1}=5,M{\mathrm{\mid }}_{s=1}=17$$ であるから、最大値は ${\displaystyle 17}$ である。このとき $s=1$、すなわち $${\displaystyle a=\frac{\pi }{2}}$$ である。

$s=\sin a$ とおき、$f(x)-f(s)$ と $f(x)-f(2)$ を直接因数分解する。平方因子の残りの符号から $x=s$ が極大点、$x=2$ が極小点であることを読み取る。極大値は $s$ の二次式となるので、区間 $[-1,1]$ 上の放物線として最大・最小を決める。

(1)
$s=\sin a$ とおくと$$-1\leqq s\leqq 1<2$$である。与えられた三次式を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)-f(s)}& {\displaystyle =(x-s{)}^2(2x+s-6),}\\ {\displaystyle f(x)-f(2)}& {\displaystyle =(x-2{)}^2(2x+2-3s)}\end{array}$$となる。

$x=s$ の近くでは$$2x+s-6<0$$であるから、$x=s$ は極大点である。また $x=2$ の近くでは$$2x+2-3s>0$$であるから、$x=2$ は極小点である。実際$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6(x-s)(x-2)$$なので停留点はこの2点だけであり、極大値はただ1つである。

極大値は$$M(a)=f(s)=6s^2+6s+5=6{(s+\frac{1}{2})}^2+\frac{7}{2}$$である。

(2)
$-1\leqq s\leqq 1$ において、頂点 $s=-1\mathrm{/}2$ で最小となる。したがって$$M_{\min }=\frac{7}{2},\sin a=-\frac{1}{2}$$であり、指定範囲へ戻すと$$a=\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$$である。

最大値は端点で比較する。$$M(-1)=5,M(1)=17$$より$$M_{\max }=17,a=\frac{\pi }{2}$$である。