問題
をを満たす実数とする．関数
について，以下の問いに答えよ．
(1) はただ1つの極大値をもつことを示し，その極大値を求めよ．
(2) におけるの最大値とそのときのの値，最小値とそのときのの値をそれぞれ求めよ．
方針
解法1（導関数を因数分解して増減を追う）
とおくと、パラメータは の1変数に整理できる。まず を因数分解し、2つの停留点 の順序が常に で固定されることを確認する。これにより極大点が だけであると分かるので、 を計算して の二次関数に直す。最後は が閉区間 を動くことを用いて最大・最小と、そのときの を漏れなく戻す。
解法2（極値との差を因数分解する）
とおき、 と を直接因数分解する。平方因子の残りの符号から が極大点、 が極小点であることを読み取る。極大値は の二次式となるので、区間 上の放物線として最大・最小を決める。
解答
解法1（導関数を因数分解して増減を追う）
(1)
とおくと、 である。このとき であり、微分すると
となる。ここで だから である。したがって の符号は
となる。よって は で極大、 で極小となり、極大値はただ1つである。
その極大値を求めると
である。したがって である。
(2)
とおくと、、 である。平方完成して となる。 は区間 に含まれるから、最小値は のとき である。この条件は であり、 より である。
最大値は、上に開く放物線 を区間 で見るので、頂点から遠い端点で起こる。端点を比べると であるから、最大値は である。このとき 、すなわち である。
解法2（極値との差を因数分解する）
(1)
とおくと
である。与えられた三次式を整理すると
となる。
の近くでは
であるから、 は極大点である。また の近くでは
であるから、 は極小点である。実際
なので停留点はこの2点だけであり、極大値はただ1つである。
極大値は
である。
(2)
において、頂点 で最小となる。したがって
であり、指定範囲へ戻すと
である。
最大値は端点で比較する。
より
である。
