大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

三角形ABCにおいて、辺 $AB=c$ は角Cの対辺、辺 $CA=b$ は角Bの対辺である。正弦定理より $$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$$ であるから、$C=3B$ を用いると $$\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin 3B}{\sin B}$$ となる。

ここで三倍角の公式 $\sin 3B=3\sin B-4{\sin }^{3}B$ を用いる。三角形の内角なので $B>0$ であり、$\sin B>0$ である。したがって $$\frac{c}{b}=3-4{\sin }^{2}B$$ である。${\sin }^{2}B>0$ より $3-4{\sin }^{2}B<3$ だから $$\frac{c}{b}<3$$ である。$b>0$ なので両辺に $b$ を掛けて $${\displaystyle c<3b}$$ を得る。

正弦定理で $c\mathrm{/}b=\sin 3B\mathrm{/}\sin B$ とした後、単位円上で中心角 $6B$ の弦を、中心角 $2B$ の3本の弦からなる折れ線と比較する。直線距離は折れ線の長さより短いので、三倍角公式を使わずに $\sin 3B<3\sin B$ を得る。

$B=\mathrm{\angle }ABC$ とおくと $C=3B$ である。正弦定理より$$\frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B}$$である。

単位円上に、中心角が順に $2B$ ずつ離れた4点 $P_0,P_1,P_2,P_3$ をとる。$3B=C<\pi$ であるから、弦の長さは$$P_0{P}_3=2\sin 3B,P_0{P}_1=P_1{P}_2=P_2{P}_3=2\sin B$$である。

4点は一直線上にはないので、直線距離は折れ線の長さより真に短い。したがって$$2\sin 3B=P_0{P}_3<P_0{P}_1+P_1{P}_2+P_2{P}_3=6\sin B$$となる。$\sin B>0$ より$$\frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B}<3$$であり、$b>0$ を掛けて$$c<3b$$を得る。