問題
三角形において，辺の長さを，辺の長さをで表す．であるとき，を示せ．
出典：大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
解法1（三倍角の公式で辺の比を評価する）
正弦定理で辺の比を角の正弦の比に直す。条件 から となるので、三倍角の公式で に変形する。三角形の角であるため 、従って であり、ここから厳密な不等号を得る。
解法2（円の弦と折れ線の長さを比べる）
正弦定理で とした後、単位円上で中心角 の弦を、中心角 の3本の弦からなる折れ線と比較する。直線距離は折れ線の長さより短いので、三倍角公式を使わずに を得る。
解答
解法1（三倍角の公式で辺の比を評価する）
三角形ABCにおいて、辺 は角Cの対辺、辺 は角Bの対辺である。正弦定理より であるから、 を用いると となる。
ここで三倍角の公式 を用いる。三角形の内角なので であり、 である。したがって である。 より だから である。 なので両辺に を掛けて を得る。
解法2（円の弦と折れ線の長さを比べる）
とおくと である。正弦定理より
である。
単位円上に、中心角が順に ずつ離れた4点 をとる。 であるから、弦の長さは
である。
4点は一直線上にはないので、直線距離は折れ線の長さより真に短い。したがって
となる。 より
であり、 を掛けて
を得る。
