大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
2回の操作後に点Aにいるのは、次の2種類である。

まず、2回ともAにとどまる場合の確率は $${\left(\frac{4}{6}\right)}^2=\frac{16}{36}$$ である。次に、1回目に時計回りへ進み、2回目に反時計回りで戻る場合、または1回目に反時計回りへ進み、2回目に時計回りで戻る場合がある。それぞれの確率は $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}$ であるから、合わせて $$2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{2}{36}$$ である。したがって $$p_2=\frac{16}{36}+\frac{2}{36}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(2) $n$ 回後に点Aにいる確率を $p_n$ とする。$n+1$ 回後に点Aにいるには、

・$n$ 回後に点Aにいて、そのままとどまる。

・$n$ 回後に点A以外の点にいて、1回の移動で点Aへ進む。

のいずれかである。点Aにいるときにとどまる確率は $\frac{4}{6}$ である。また、点A以外の2点のどちらにいても、点Aへ移る向きは1通りだけなので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。よって $$p_{n+1}=\frac{4}{6}{p}_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}$$ を得る。

(3)
ここで $$p_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}(p_n-\frac{1}{3})$$ である。初回については、点Aにとどまる場合、時計回りに進む場合、反時計回りに進む場合のうち、点Aにいるのは「とどまる」場合だけだから $p_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ である。したがって$$p_n-\frac{1}{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}(p_1-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$となる。ゆえに $${\displaystyle p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}(n\geqq 1)}$$ である。

時計回りを $+1$、反時計回りを $-1$、静止を0とし、移動量の和を3で割った余りが0となる確率を求める。1の3乗根 $1,\omega ,{\omega }^2$ を代入する余り抽出を使えば $p_n$ が直接得られ、その式から漸化式も確認できる。

時計回りの移動量を1、反時計回りを $-1$、静止を0とする。$n$ 回の移動量の和を $T_n$ とすれば、点QがAにいることは$$T_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$と同値である。

1回の移動を表す式を$$F(z)=\frac{z+z^{-1}+4}{6}$$とする。$\omega$ を$${\omega }^3=1,1+\omega +{\omega }^2=0$$を満たす1でない複素数とする。指数が3の倍数である項だけを取り出すと$$p_n=\frac{1}{3}\{F(1{)}^n+F(\omega {)}^n+F({\omega }^2{)}^n\}$$である。

ここで$$F(1)=1,F(\omega )=F({\omega }^2)=\frac{4+\omega +{\omega }^2}{6}=\frac{1}{2}$$だから$$p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$を得る。

(1) $$p_2=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$$である。

(2)
上の一般項から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(p_n-\frac{1}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}}\end{array}$$となる。

(3)
したがって$$p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$である。