大阪大学 2020年度文系数学第2問解答・解説

問題

円周を3等分する点を時計回りにA，B，Cとおく．点QはAから出発し，A，B，Cを以下のように移動する．1個のさいころを投げて，1の目が出た場合は時計回りに隣の点に移動し，2の目が出た場合は反時計回りに隣の点に移動し，その他の目が出た場合は移動しない．さいころを $n$ 回投げたあとにQがAに位置する確率を $p_{n}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $p_{2}$ を求めよ．

(2) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ を用いて表せ．

(3) $p_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2020年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

解法1（Aにいるかどうかで漸化式を立てる）

1回の移動で「同じ点にとどまる」「時計回り」「反時計回り」がどの確率で起こるかを、点Aにいる場合と点A以外にいる場合に分けて見る。(1)は2回後にAへ戻る経路を直接数え、(2)は $n$ 回後にAにいる確率だけを状態として漸化式を作る。最後は定数項をもつ一次漸化式なので、定常値 $\frac{1}{3}$ を引いて等比数列に直す。

解法2（1の3乗根で余りを抽出する）

時計回りを $+ 1$ 、反時計回りを $- 1$ 、静止を0とし、移動量の和を3で割った余りが0となる確率を求める。1の3乗根 $1, ω, ω^{2}$ を代入する余り抽出を使えば $p_{n}$ が直接得られ、その式から漸化式も確認できる。

解答

解法1（Aにいるかどうかで漸化式を立てる）

(1)

2回の操作後に点Aにいるのは、次の2種類である。

まず、2回ともAにとどまる場合の確率は $(\frac{4}{6})^{2} = \frac{16}{36}$ である。次に、1回目に時計回りへ進み、2回目に反時計回りで戻る場合、または1回目に反時計回りへ進み、2回目に時計回りで戻る場合がある。それぞれの確率は $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ であるから、合わせて $2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}$ である。したがって $p_{2} = \frac{16}{36} + \frac{2}{36} = \frac{1}{2}$ である。

(2)

$n$ 回後に点Aにいる確率を $p_{n}$ とする。 $n + 1$ 回後に点Aにいるには、

$n$ 回後に点Aにいて、そのままとどまる。

$n$ 回後に点A以外の点にいて、1回の移動で点Aへ進む。

のいずれかである。点Aにいるときにとどまる確率は $\frac{4}{6}$ である。また、点A以外の2点のどちらにいても、点Aへ移る向きは1通りだけなので、その確率は $\frac{1}{6}$ である。よって $p_{n + 1} = \frac{4}{6} p_{n} + \frac{1}{6} (1 - p_{n}) = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}$ を得る。

(3)

ここで $p_{n + 1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3})$ である。初回については、点Aにとどまる場合、時計回りに進む場合、反時計回りに進む場合のうち、点Aにいるのは「とどまる」場合だけだから $p_{1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。したがって

p_{n} - \frac{1}{3} = (\frac{1}{2})^{n - 1} (p_{1} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

となる。ゆえに $p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1} (n ≧ 1)$ である。

解法2（1の3乗根で余りを抽出する）

時計回りの移動量を1、反時計回りを $- 1$ 、静止を0とする。 $n$ 回の移動量の和を $T_{n}$ とすれば、点QがAにいることは

T_{n} \equiv 0 (mod 3)

と同値である。

1回の移動を表す式を

F (z) = \frac{z + z ^{- 1} + 4}{6}

とする。 $ω$ を

ω^{3} = 1, 1 + ω + ω^{2} = 0

を満たす1でない複素数とする。指数が3の倍数である項だけを取り出すと

p_{n} = \frac{1}{3} {F (1)^{n} + F (ω)^{n} + F (ω^{2})^{n}}

である。

ここで

F (1) = 1, F (ω) = F (ω^{2}) = \frac{4 + ω + ω ^{2}}{6} = \frac{1}{2}

だから

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

を得る。

(1)

p_{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

である。

(2)

上の一般項から

p_{n + 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{6}

となる。

(3)

したがって

p_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{1}{2})^{n}

である。

大阪大学 2020年度文系数学 第2問

問題

方針

解法1（Aにいるかどうかで漸化式を立てる）

解法2（1の3乗根で余りを抽出する）

解答

解法1（Aにいるかどうかで漸化式を立てる）

(1)

(2)

(3)

解法2（1の3乗根で余りを抽出する）

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2020年度
文系数学第2問