大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線 $${\displaystyle y=\frac{1}{x}}$$ 上の点 ${\displaystyle (u,\frac{1}{u})}$ における接線は$$y=-\frac{x}{u^2}+\frac{2}{u}$$である。これが $P(a,b)$ を通る条件は$$b{u}^2-2u+a=0$$となる。判別式は $4(1-ab)>0$，2根の和と積は $2\mathrm{/}b>0,a\mathrm{/}b>0$ だから，2根は相異なる正数である。小さい根を $s$，大きい根を $t$ とすれば$$s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$$である。

(2) $$r=\sqrt{1-ab}$$ とおくと $0<r<1$ であり，$$\frac{t}{s}=\frac{1+r}{1-r}$$を得る。右辺は $r$ とともに増加するので，$t\mathrm{/}s$ を最小にするには $ab$ を最大にすればよい。

曲線上では$$ab=a(\frac{9}{4}-3a^2),0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。右辺の導関数 $9\mathrm{/}4-9a^2$ の符号から，最大値は $a=1\mathrm{/}2$ でとる。このとき$$b=\frac{3}{2},ab=\frac{3}{4},r=\frac{1}{2}$$だから$$\min \frac{t}{s}=\frac{1+1\mathrm{/}2}{1-1\mathrm{/}2}=3$$である。したがって，求める最小値は $3$，そのとき$$(a,b)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$$である。

接線を $x+u^{2}y=2u$ と書いて $s,t$ の和と積だけを求める。$r=t\mathrm{/}s$ とおくと $r+1\mathrm{/}r$ が $ab$ だけで表されるため，根号を直接微分せずに比の最小化を積 $ab$ の最大化へ帰着できる。

(1)
曲線 $y=1\mathrm{/}x$ 上の点 $(u,1\mathrm{/}u)$ における接線と，それが $P(a,b)$ を通る条件は$$x+u^{2}y=2u,b{u}^2-2u+a=0$$である。判別式は $4(1-ab)>0$，2根の和と積は $2\mathrm{/}b>0,a\mathrm{/}b>0$ なので，2根は相異なる正数である。小さい方を $s$，大きい方を $t$ とすれば$$s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b}$$である。

(2)
$r=t\mathrm{/}s>1$ とおく。解と係数の関係から$$s+t=\frac{2}{b},st=\frac{a}{b},\frac{4}{ab}=\frac{(s+t{)}^2}{st}=\frac{(r+1{)}^2}{r}=r+2+\frac{1}{r}$$だから$$r+\frac{1}{r}=\frac{4}{ab}-2$$を得る。$r>1$ では左辺は単調増加なので，$r$ の最小化は $ab$ の最大化に等しい。

曲線上では$$ab=a(\frac{9}{4}-3a^2),0<a<\frac{\sqrt{3}}{2}$$であり，導関数 $9\mathrm{/}4-9a^2$ の符号から，最大は $a=1\mathrm{/}2$ のときである。したがって$$b=\frac{3}{2},ab=\frac{3}{4},r+\frac{1}{r}=\frac{10}{3},3r^2-10r+3=0$$となる。$r>1$ を満たす根は $r=3$ である。よって最小値は $3$，そのとき$$(a,b)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$$である。