大阪大学 2021年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a, b$ を $ab < 1$ をみたす正の実数とする． $x y$ 平面上の点 $P (a, b)$ から，曲線 $y = \frac{1}{x}$ $(x > 0)$ に2本の接線を引き，その接点を $Q (s, \frac{1}{s})$ , $R (t, \frac{1}{t})$ とする．ただし， $s < t$ とする．

(1) $s$ および $t$ を $a, b$ を用いて表せ．

(2) 点 $P (a, b)$ が曲線 $y = \frac{9}{4} - 3 x^{2}$ 上の $x > 0$ ， $y > 0$ をみたす部分を動くとき， $\frac{t}{s}$ の最小値とそのときの $a$ ， $b$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1（接点方程式の2根を直接求める）

接点の横座標を $u$ として $y = 1/ x$ の接線を求め，点 $P$ を通る条件を2次方程式にする。2根の正値性を確認して $s, t$ を表示し，後半は $t / s$ を $ab$ の単調な関数とみて積 $ab$ を最大化する。

解法2（根の比と対称式から最小化する）

接線を $x + u^{2} y = 2 u$ と書いて $s, t$ の和と積だけを求める。 $r = t / s$ とおくと $r + 1/ r$ が $ab$ だけで表されるため，根号を直接微分せずに比の最小化を積 $ab$ の最大化へ帰着できる。

解答

解法1（接点方程式の2根を直接求める）

(1)

曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の点 $(u, \frac{1}{u})$ における接線は

y = - \frac{x}{u ^{2}} + \frac{2}{u}

である。これが $P (a, b)$ を通る条件は

b u^{2} - 2 u + a = 0

となる。判別式は $4 (1 - ab) > 0$ ，2根の和と積は $2/ b > 0, a / b > 0$ だから，2根は相異なる正数である。小さい根を $s$ ，大きい根を $t$ とすれば

s = \frac{1 - 1 - ab}{b}, t = \frac{1 + 1 - ab}{b}

である。

(2)

$r = 1 - ab$ とおくと $0 < r < 1$ であり，

\frac{t}{s} = \frac{1 + r}{1 - r}

を得る。右辺は $r$ とともに増加するので， $t / s$ を最小にするには $ab$ を最大にすればよい。

曲線上では

ab = a (\frac{9}{4} - 3 a^{2}), 0 < a < \frac{3}{2}

である。右辺の導関数 $9/4 - 9 a^{2}$ の符号から，最大値は $a = 1/2$ でとる。このとき

b = \frac{3}{2}, ab = \frac{3}{4}, r = \frac{1}{2}

だから

min \frac{t}{s} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = 3

である。したがって，求める最小値は $3$ ，そのとき

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

である。

解法2（根の比と対称式から最小化する）

(1)

曲線 $y = 1/ x$ 上の点 $(u, 1/ u)$ における接線と，それが $P (a, b)$ を通る条件は

x + u^{2} y = 2 u, b u^{2} - 2 u + a = 0

である。判別式は $4 (1 - ab) > 0$ ，2根の和と積は $2/ b > 0, a / b > 0$ なので，2根は相異なる正数である。小さい方を $s$ ，大きい方を $t$ とすれば

s = \frac{1 - 1 - ab}{b}, t = \frac{1 + 1 - ab}{b}

である。

(2)

$r = t / s > 1$ とおく。解と係数の関係から

s + t = \frac{2}{b}, s t = \frac{a}{b}, \frac{4}{ab} = \frac{( s + t ) ^{2}}{s t} = \frac{( r + 1 ) ^{2}}{r} = r + 2 + \frac{1}{r}

だから

r + \frac{1}{r} = \frac{4}{ab} - 2

を得る。 $r > 1$ では左辺は単調増加なので， $r$ の最小化は $ab$ の最大化に等しい。

曲線上では

ab = a (\frac{9}{4} - 3 a^{2}), 0 < a < \frac{3}{2}

であり，導関数 $9/4 - 9 a^{2}$ の符号から，最大は $a = 1/2$ のときである。したがって

b = \frac{3}{2}, ab = \frac{3}{4}, r + \frac{1}{r} = \frac{10}{3}, 3 r^{2} - 10 r + 3 = 0

となる。 $r > 1$ を満たす根は $r = 3$ である。よって最小値は $3$ ，そのとき

(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

である。

大阪大学 2021年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1（接点方程式の2根を直接求める）

解法2（根の比と対称式から最小化する）

解答

解法1（接点方程式の2根を直接求める）

(1)

(2)

解法2（根の比と対称式から最小化する）

(1)

(2)

大阪大学 2021年度
理系数学第1問