Evolton
方針
積分差を因数分解して を得る。(1)では2因子の3を法とする関係を調べ，(2)では と変換する。符号を固定して正の約数対へ直し，3の指数の端を除いて数える。
解答
(1)
条件 (＊) の左辺から右辺を引くと である。条件 (＊) が成り立ち、かつ であるから である。左辺の二次式を因数分解して を得る。
右辺は3で割り切れるので、 は3で割り切れる。ここで である。したがって一方の因子が3で割り切れるなら、もう一方の因子も3で割り切れる。よって である。 だから となり、 を得る。整数 について なら である。したがって は3の倍数である。
(2) とおくと である。また であり、 である。したがって は と同値である。
いま なので である。右辺は負であり、 であるから、 は負、 は正でなければならない。そこで とおくと、 は正の整数で をみたす。
逆に、このような から整数 が得られる条件を調べる。上の式に を代入すると である。よって が整数であるための条件は であり、これは と同値である。
ここで である。 を と書くと である。このとき である。
条件 をみたすには、 がともに3で割り切れる必要がある。実際、 なら は3で割り切れず は3で割り切れる。 なら は3で割り切れ は3で割り切れない。どちらも をみたさない。反対に なら はともに3で割り切れるので、どちらも3を法として に合同であり、条件をみたす。
したがって選び方は 通りである。各 に対して は一意に決まり、そこから 、さらに も一意に決まる。よって求める整数の組 の個数は である。
別解
解法2（正の約数全体から不適合な端を除く）
方針
への線形変換で積の条件と大小条件を分離する。 として全正約数 を数え，整数 を与えないのが3の指数を片側へ全部寄せた2群だけであることから差し引く。
解答
(1)
条件の両辺を積分して差を取ると， よりを得る。ここでである。積が3の倍数なので一方の因子は3の倍数であり，和も3の倍数だから他方も3の倍数である。したがって左辺は9の倍数であり， となる。よって ，したがって である。
(2) とおくとである。また なので， と積が負であることから となる。
とおくと， は正でを満たす。逆変換が整数を与える条件はである。
正の約数 の総数はである。 に含まれる3の指数を とすると， では だけが3で割れず， では だけが3で割れないため不適合である。各端の個数はである。 なら はともに3の倍数で，必ず合同条件を満たす。よって求める個数はである。各約数 から は一意に定まるので重複はない。
総評
難度7、計算量6。想定時間は25分程度。文系第3問と同じ因数分解を， の約数カウントまで発展させる問題である。 と置いた後， から を確定し，正の約数だけを数えるのが整理の要点である。 の3の指数 は一方だけが3の倍数となって除外され， の4通りが残る。総数は と差し引き法の両方で一致する。