問題
整数に関する次の条件(＊)を考える．
(1) 整数が(＊)およびをみたすとき，は3の倍数であることを示せ．
(2) のとき，(＊)およびをみたす整数の組の個数を求めよ．
方針
解法1（線形変換後に3進指数を数える）
積分差を因数分解して を得る。(1)では2因子の3を法とする関係を調べ，(2)では と変換する。符号を固定して正の約数対へ直し，3の指数の端を除いて数える。
解法2（正の約数全体から不適合な端を除く）
への線形変換で積の条件と大小条件を分離する。 として全正約数 を数え，整数 を与えないのが3の指数を片側へ全部寄せた2群だけであることから差し引く。
解答
解法1（線形変換後に3進指数を数える）
(1)
条件 (＊) の左辺から右辺を引くと
である。条件 (＊) が成り立ち、かつ であるから である。左辺の二次式を因数分解して を得る。
右辺は3で割り切れるので、 は3で割り切れる。ここで である。したがって一方の因子が3で割り切れるなら、もう一方の因子も3で割り切れる。よって である。 だから となり、 を得る。整数 について なら である。したがって は3の倍数である。
(2)
とおくと である。また であり、 である。したがって は と同値である。
いま なので である。右辺は負であり、 であるから、 は負、 は正でなければならない。そこで とおくと、 は正の整数で をみたす。
逆に、このような から整数 が得られる条件を調べる。上の式に を代入すると である。よって が整数であるための条件は であり、これは と同値である。
ここで である。 を と書くと である。このとき である。
条件 をみたすには、 がともに3で割り切れる必要がある。実際、 なら は3で割り切れず は3で割り切れる。 なら は3で割り切れ は3で割り切れない。どちらも をみたさない。反対に なら はともに3で割り切れるので、どちらも3を法として に合同であり、条件をみたす。
したがって選び方は 通りである。各 に対して は一意に決まり、そこから 、さらに も一意に決まる。よって求める整数の組 の個数は である。
解法2（正の約数全体から不適合な端を除く）
(1)
条件の両辺を積分して差を取ると， より
を得る。ここで
である。積が3の倍数なので一方の因子は3の倍数であり，和も3の倍数だから他方も3の倍数である。したがって左辺は9の倍数であり， となる。よって ，したがって である。
(2)
とおくと
である。また なので， と積が負であることから となる。
とおくと， は正で
を満たす。逆変換が整数を与える条件は
である。
正の約数 の総数は
である。 に含まれる3の指数を とすると， では だけが3で割れず， では だけが3で割れないため不適合である。各端の個数は
である。 なら はともに3の倍数で，必ず合同条件を満たす。よって求める個数は
である。各約数 から は一意に定まるので重複はない。