大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $${\displaystyle h(x)=x-\tan x(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2})}$$ とおく。導関数は $${\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=-{\tan }^{2}x\leqq 0}$$ である。さらに、任意の $x_1<x_2$ に対して$$h(x_2)-h(x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}-{\tan }^{2}xdx<0$$である。実際、${\tan }^{2}x$ は連続で、区間全体で恒等的に $0$ にはならない。したがって $h(x)$ はこの区間で狭義単調減少である。

また$$\underset{x\to -\frac{\pi }{2}+0}{\lim }(x-\tan x)=+\mathrm{\infty },\underset{x\to \frac{\pi }{2}-0}{\lim }(x-\tan x)=-\mathrm{\infty }$$である。よって $h(x)$ は ${\displaystyle (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}$ で実数全体の値を一度ずつ取る。したがって任意の実数 $a$ に対し、方程式 $x-\tan x=a$ の実数解のうち $${\displaystyle \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\frac{\pi }{2}}$$ をみたすものはちょうど1個である。

(2)
曲線 $C:y=\sin x$ の $x=t$ における接線は $y=\sin t+\cos t(x-t)$ である。これを $$y=(\cos t)x+\sin t-t\cos t$$ と書いておく。

この直線が $x=u$ においても曲線 $C$ に接するとする。ただし $${\displaystyle u\geqq \frac{\pi }{2}}$$ である。$x=u$ における接線は $$y=(\cos u)x+\sin u-u\cos u$$ であるから、2つの接線が一致するための必要十分条件は $\cos u=\cos t$ かつ $$\sin u-u\cos u=\sin t-t\cos t$$ である。

いま $${\displaystyle \mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\frac{\pi }{2}}$$ なので $\cos t>0$ である。$\cos u=\cos t$ から $$u=t+2m\pi \text{または}u=-t+2m\pi$$ と表される。

まず $u=t+2m\pi$ の場合を考える。このとき $\sin u=\sin t$, $\cos u=\cos t$ だから、切片条件は $$\sin t-(t+2m\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$$ となる。$\cos t>0$ より $m=0$ である。しかしこのとき $${\displaystyle u=t<\frac{\pi }{2}}$$ となり、$${\displaystyle u\geqq \frac{\pi }{2}}$$ に反する。よってこの場合は起こらない。

したがって $u=-t+2m\pi$ でなければならない。$${\displaystyle \mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\frac{\pi }{2}}$$ で $${\displaystyle u\geqq \frac{\pi }{2}}$$ だから、$m$ は自然数である。これを $n$ と書く。すると $$\sin u=-\sin t,\cos u=\cos t$$ であるから、切片条件は $$-\sin t-(-t+2n\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$$ となる。整理すると $$2t\cos t-2n\pi \cos t-2\sin t=0$$ である。$\cos t>0$ で割ると $t-\tan t=n\pi$ を得る。したがって、(1)の一意性により $t=x_n$ である。これで必要性が示された。

逆に、$t=x_n$ とする。このとき $t-\tan t=n\pi$ である。$n\pi >0$ であり、$h(0)=0$、かつ $h$ は狭義単調減少だから $t<0$ である。そこで $u=-t+2n\pi$ とおくと、$${\displaystyle u\geqq \frac{\pi }{2}}$$ である。また $$\cos u=\cos t,\sin u=-\sin t$$ である。

さらに $t-\tan t=n\pi$ は $$t\cos t-\sin t=n\pi \cos t$$ と同値である。これを用いると $$-\sin t-(-t+2n\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$$ が成り立つ。すなわち $$\sin u-u\cos u=\sin t-t\cos t$$ である。よって $x=t$ における接線と $x=u$ における接線は一致し、しかも $${\displaystyle u\geqq \frac{\pi }{2}}$$ である。

以上より、曲線 $C$ 上の点 $P(t,\sin t)$ における接線が、$${\displaystyle x\geqq \frac{\pi }{2}}$$ の領域に含まれる点でも $C$ と接するための必要十分条件は、$t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかと等しいことである。

接線が別の点 $u$ でも接するなら，その直線上条件と微分係数条件を同時に満たす。$\cos u=\cos t$ から $u=2k\pi \pm t$ を得て各場合を直接代入し，第二接点が右半平面にある条件から $k$ を自然数に限定する。

(1) $$\varphi (x)=\tan x-x,{\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)={\tan }^{2}x\geqq 0(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2})$$とおく。任意の異なる2点間で ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}$ の積分は正だから，$\varphi$ は狭義単調増加である。また$$\underset{x\to -\pi \mathrm{/}2+0}{\lim }\varphi (x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \pi \mathrm{/}2-0}{\lim }\varphi (x)=+\mathrm{\infty }$$なので，$x-\tan x=a$，すなわち $\varphi (x)=-a$ はこの区間にちょうど1個の解をもつ。

(2)
点 $P(t,\sin t)$ における接線と，この直線が $u\geqq \pi \mathrm{/}2$ でも曲線に接するための必要十分条件は$$y=\sin t+(x-t)\cos t,\cos u=\cos t,\sin u=\sin t+(u-t)\cos t$$である。第2式から$$u=2k\pi +t\text{または}u=2k\pi -t$$を得る。前者を第3式へ代入すると $2k\pi \cos t=0$ となる。$\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\pi \mathrm{/}2$ では $\cos t>0$ だから $k=0$，すなわち $u=t<\pi \mathrm{/}2$ となり不適である。

後者では $\sin u=-\sin t$ なので，第3式は$$-\sin t=\sin t+(2k\pi -2t)\cos t⟺t-\tan t=k\pi$$となる。さらに $u=2k\pi -t\geqq \pi \mathrm{/}2$ と $\mathrm{\mid }t\mathrm{\mid }<\pi \mathrm{/}2$ から $k\geqq 1$ である。$k=n$ と書けば，(1)の一意性により $t=x_n$ を得る。

逆に $t=x_n$，$u=2n\pi -t$ とおくと $u\geqq \pi \mathrm{/}2$，$\cos u=\cos t$，$\sin u=-\sin t$ である。さらに $t-\tan t=n\pi$ を変形すれば$$\sin u=\sin t+(u-t)\cos t$$も成り立つ。したがって同じ直線が $x=t,u$ の2点で曲線に接する。

以上から必要十分条件は，$t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかに等しいことである。