大阪大学 2021年度
理系数学 第5問

解答

解法1（接線の傾きと切片を比較する）

(1)

$h(x)=x-\tan x\left(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}\right)$ とおく。導関数は $h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}=-{\tan }^{2}x\leqq 0$ である。さらに、任意の $x_1<x_2$ に対して

である。実際、${\tan }^{2}x$ は連続で、区間全体で恒等的に $0$ にはならない。したがって $h(x)$ はこの区間で狭義単調減少である。

また

である。よって $h(x)$ は $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ で実数全体の値を一度ずつ取る。したがって任意の実数 $a$ に対し、方程式 $x-\tan x=a$ の実数解のうち $|x|<\frac{\pi }{2}$ をみたすものはちょうど1個である。

(2)

曲線 $C:y=\sin x$ の $x=t$ における接線は $y=\sin t+\cos t(x-t)$ である。これを $y=(\cos t)x+\sin t-t\cos t$ と書いておく。

この直線が $x=u$ においても曲線 $C$ に接するとする。ただし $u\geqq \frac{\pi }{2}$ である。$x=u$ における接線は $y=(\cos u)x+\sin u-u\cos u$ であるから、2つの接線が一致するための必要十分条件は $\cos u=\cos t$ かつ $\sin u-u\cos u=\sin t-t\cos t$ である。

いま $|t|<\frac{\pi }{2}$ なので $\cos t>0$ である。$\cos u=\cos t$ から $u=t+2m\pi \text{または}u=-t+2m\pi$ と表される。

まず $u=t+2m\pi$ の場合を考える。このとき $\sin u=\sin t$, $\cos u=\cos t$ だから、切片条件は $\sin t-(t+2m\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$ となる。$\cos t>0$ より $m=0$ である。しかしこのとき $u=t<\frac{\pi }{2}$ となり、$u\geqq \frac{\pi }{2}$ に反する。よってこの場合は起こらない。

したがって $u=-t+2m\pi$ でなければならない。$|t|<\frac{\pi }{2}$ で $u\geqq \frac{\pi }{2}$ だから、$m$ は自然数である。これを $n$ と書く。すると $\sin u=-\sin t,\cos u=\cos t$ であるから、切片条件は $-\sin t-(-t+2n\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$ となる。整理すると $2t\cos t-2n\pi \cos t-2\sin t=0$ である。$\cos t>0$ で割ると $t-\tan t=n\pi$ を得る。したがって、(1)の一意性により $t=x_n$ である。これで必要性が示された。

逆に、$t=x_n$ とする。このとき $t-\tan t=n\pi$ である。$n\pi >0$ であり、$h(0)=0$、かつ $h$ は狭義単調減少だから $t<0$ である。そこで $u=-t+2n\pi$ とおくと、$u\geqq \frac{\pi }{2}$ である。また $\cos u=\cos t,\sin u=-\sin t$ である。

さらに $t-\tan t=n\pi$ は $t\cos t-\sin t=n\pi \cos t$ と同値である。これを用いると $-\sin t-(-t+2n\pi )\cos t=\sin t-t\cos t$ が成り立つ。すなわち $\sin u-u\cos u=\sin t-t\cos t$ である。よって $x=t$ における接線と $x=u$ における接線は一致し、しかも $u\geqq \frac{\pi }{2}$ である。

以上より、曲線 $C$ 上の点 $P(t,\sin t)$ における接線が、$x\geqq \frac{\pi }{2}$ の領域に含まれる点でも $C$ と接するための必要十分条件は、$t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかと等しいことである。

解法2（第二接点を三角関数の周期で分類する）

(1)

とおく。任意の異なる2点間で ${\varphi }^{\prime }$ の積分は正だから，$\varphi$ は狭義単調増加である。また

なので，$x-\tan x=a$，すなわち $\varphi (x)=-a$ はこの区間にちょうど1個の解をもつ。

(2)

点 $P(t,\sin t)$ における接線と，この直線が $u\geqq \pi /2$ でも曲線に接するための必要十分条件は

である。第2式から

を得る。前者を第3式へ代入すると $2k\pi \cos t=0$ となる。$|t|<\pi /2$ では $\cos t>0$ だから $k=0$，すなわち $u=t<\pi /2$ となり不適である。

後者では $\sin u=-\sin t$ なので，第3式は

となる。さらに $u=2k\pi -t\geqq \pi /2$ と $|t|<\pi /2$ から $k\geqq 1$ である。$k=n$ と書けば，(1)の一意性により $t=x_n$ を得る。

逆に $t=x_n$，$u=2n\pi -t$ とおくと $u\geqq \pi /2$，$\cos u=\cos t$，$\sin u=-\sin t$ である。さらに $t-\tan t=n\pi$ を変形すれば

も成り立つ。したがって同じ直線が $x=t,u$ の2点で曲線に接する。

以上から必要十分条件は，$t$ が $x_1,x_2,x_3,\dots$ のいずれかに等しいことである。