大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第1問

(1)
まず$$1+\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1}=\sum _{j=0}^{n-1}(-x{)}^j=\frac{1-(-x{)}^n}{1+x}$$である。したがって$$\frac{1}{x+1}-1-\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1}=\frac{1}{1+x}-\frac{1-(-x{)}^n}{1+x}=\frac{(-x{)}^n}{1+x}$$となる。両辺に $(-1{)}^n$ をかけると$$(-1{)}^n\{\frac{1}{x+1}-1-\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1}\}=\frac{x^n}{1+x}$$である。

ここで $0\leqq x\leqq 1$ なら $$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}=\frac{1-x}{2(1+x)}\geqq 0$$ である。また $$1-\frac{x}{2}-\frac{1}{1+x}=\frac{x(1-x)}{2(1+x)}\geqq 0$$ だから $$\frac{1}{2}\leqq \frac{1}{1+x}\leqq 1-\frac{x}{2}$$ が成り立つ。これに $x^n\geqq 0$ をかけて $$\frac{1}{2}{x}^n\leqq \frac{x^n}{1+x}\leqq x^n-\frac{1}{2}{x}^{n+1}$$ を得る。先ほどの等式に戻せば、求める不等式が示された。

(2)
(1) の中央の式を $0$ から $1$ まで積分する。左辺の括弧内について$${\int }_0^1(\frac{1}{1+x}-1-\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1})dx=\log 2-1-\sum _{k=2}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}=\log 2-a_n$$である。よって $$(-1{)}^n(\log 2-a_n)={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$$ である。

(1) の不等式を積分すると$${\int }_0^1\frac{1}{2}{x}^{n}dx\leqq (-1{)}^n(\log 2-a_n)\leqq {\int }_0^1(x^n-\frac{1}{2}{x}^{n+1})dx$$である。すなわち$$\frac{1}{2(n+1)}\leqq (-1{)}^n(\log 2-a_n)\leqq \frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+2)}=\frac{n+3}{2(n+1)(n+2)}$$となる。

両辺に $n$ をかけると$$\frac{n}{2(n+1)}\leqq (-1{)}^{n}n(\log 2-a_n)\leqq \frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$$であり、左右の端はどちらも $\frac{1}{2}$ に収束する。はさみうちの原理より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-1{)}^{n}n(\log 2-a_n)=\frac{1}{2}$$ である。求める極限は符号が反対なので $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-1{)}^{n}n(a_n-\log 2)=-\frac{1}{2}$$ である。

有限等比和から中央の式を $x^n\mathrm{/}(1+x)$ に直す点は同じだが，(2) では $1\mathrm{/}(1+x)$ を $1\mathrm{/}2$ のまわりで上下から一次式評価する。積分余項 $E_n$ に対して標準解法より少し鋭い上下界を作り，直接 $n{E}_n\to 1\mathrm{/}2$ を示す。

(1)
有限等比和より$$1+\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1}=\frac{1-(-x{)}^n}{1+x}$$だから，問題の中央の式は$$(-1{)}^n\{\frac{1}{1+x}-1-\sum _{k=2}^n(-x{)}^{k-1}\}=\frac{x^n}{1+x}$$に等しい。$0\leqq x\leqq 1$ では$$\frac{1}{2}\leqq \frac{1}{1+x}\leqq 1-\frac{x}{2}$$であるから，両辺に $x^n$ を掛ければ問題の不等式を得る。

(2) $$E_n=(-1{)}^n(\log 2-a_n)={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$$とおく。ここで $0\leqq x\leqq 1$ において$$\begin{array}{cccc}& \frac{3-x}{4}\leqq \frac{1}{1+x}\leqq \frac{2-x}{2}& & \text{(1)}\end{array}$$が成り立つ。実際，左側は$$\frac{1}{1+x}-\frac{3-x}{4}=\frac{(1-x{)}^2}{4(1+x)}\geqq 0$$であり，右側は$$\frac{2-x}{2}-\frac{1}{1+x}=\frac{x(1-x)}{2(1+x)}\geqq 0$$である。

(1) に $x^n$ を掛けて積分すると$$\frac{3}{4(n+1)}-\frac{1}{4(n+2)}\leqq E_n\leqq \frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+2)}\mathrm{.}$$両辺を整理して $n$ 倍すると$$\frac{n(2n+5)}{4(n+1)(n+2)}\leqq n{E}_n\leqq \frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}\mathrm{.}$$左右はともに $1\mathrm{/}2$ へ収束するので $n{E}_n\to 1\mathrm{/}2$ である。求める式は $-n{E}_n$ だから，極限値は$$-\frac{1}{2}$$である。