大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第3問

曲線 $y=\cos x$ の $x=t$ における接線は、傾きが $-\sin t$ であるから $y=\cos t-\sin t(x-t)$ である。これが点 $P(a,b)$ を通る条件は $b=\cos t+(t-a)\sin t$ である。そこで $$g(t)=\cos t+(t-a)\sin t(-\pi \leqq t\leqq \pi )$$ とおく。求める $N(P)$ は、水平線 $y=b$ と $y=g(t)$ の交点数である。

微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(t)=-\sin t+\sin t+(t-a)\cos t=(t-a)\cos t$$ である。また、必要な値は $$g(-\pi )=-1,g(\pi )=-1,$$ $$g(-\frac{\pi }{2})=a+\frac{\pi }{2},g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}-a,g(a)=\cos a$$である。

まず $$0<a<\frac{\pi }{2}$$ とする。このとき臨界点の順序は $$-\pi <-\frac{\pi }{2}<a<\frac{\pi }{2}<\pi$$ であり、$g^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号から $g(t)$ は順に、増加、減少、増加、減少する。さらに $$\cos a<\frac{\pi }{2}-a$$ である。実際、$$h(a)=\frac{\pi }{2}-a-\cos a$$ とおくと、$h^{\mathrm{\prime }}(a)=\sin a-1<0$ かつ $$h(\frac{\pi }{2})=0$$ なので、$$0<a<\frac{\pi }{2}$$ では $h(a)>0$ である。

この場合、4つの単調区間の値域を合わせて見ると、水平線が4回交わるためには、局所最小値 $g(a)=\cos a$ より上で、右側の局所最大値 $$g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-a$$ より下でなければならない。逆に $$\cos a<b<\frac{\pi }{2}-a$$ なら4つの単調区間それぞれの内部でちょうど1回ずつ交わる。境界で等号になると、$t=a$ または $$t=\frac{\pi }{2}$$ で交点が重なり、個数は4にならない。

次に $$\frac{\pi }{2}<a<\pi$$ とする。このとき臨界点の順序は $$-\pi <-\frac{\pi }{2}<\frac{\pi }{2}<a<\pi$$ であり、$g(t)$ は順に、増加、減少、増加、減少する。また $$\frac{\pi }{2}-a<\cos a$$ である。これは $$k(a)=\cos a+a-\frac{\pi }{2}$$ とおくと、$k^{\mathrm{\prime }}(a)=1-\sin a>0$、$$k(\frac{\pi }{2})=0$$ から従う。

この場合、中央の谷の値は $$g(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-a$$、右側の山の値は $g(a)=\cos a$ である。4つの単調区間すべてで1回ずつ交わるには、右端および左端の値 $-1$ よりも上にあり、かつ中央の谷よりも上にあり、さらに右側の山よりも下にある必要がある。したがって条件は $$\max \{-1,\frac{\pi }{2}-a\}<b<\cos a$$ である。ここでも等号の場合は端点または極値で交点が重なるため、$N(P)=4$ にはならない。 $$a=\frac{\pi }{2}$$ のときは $t=a$ と $$t=\frac{\pi }{2}$$ が重なり、単調区間が4本に分かれないので、4個の解は生じない。

以上より、求める存在範囲は $$0<a<\frac{\pi }{2},\cos a<b<\frac{\pi }{2}-a$$ または $$\frac{\pi }{2}<a<\pi ,\max \{-1,\frac{\pi }{2}-a\}<b<\cos a$$ である。図示すると、左側 $$0<a<\frac{\pi }{2}$$ では下側境界が $b=\cos a$、上側境界が直線 $$b=\frac{\pi }{2}-a$$ である。右側では上側境界が $b=\cos a$、下側境界は $$a=\frac{\pi }{2}+1$$ までは直線 $$b=\frac{\pi }{2}-a$$、それ以後は直線 $b=-1$ に切り替わる。すべての境界線は含まれない。

接線条件を $b=\cos t+(t-a)\sin t$ とする。解の個数が変わるのは，解が重解になるときか端点 $t=\pm \pi$ を通るときである。重解条件から境界曲線 $b=\cos a$，$b=\pi \mathrm{/}2-a$，$b=a+\pi \mathrm{/}2$ を先に出し，端点境界 $b=-1$ と合わせて平面を分割し，4解をもつ領域を選ぶ。

接線条件は$$b=\cos t+(t-a)\sin t$$である。左辺へ移した式を $$H(t)=\cos t+(t-a)\sin t-b$$ とおく。解の個数が変わり得る境界は，区間内部で重解が生じる場合と，端点が解になる場合である。$$H^{\mathrm{\prime }}(t)=(t-a)\cos t$$だから，重解候補は $t=a,\pm \pi \mathrm{/}2$ である。これらを $H(t)=0$ に代入すると$$b=\cos a,b=\frac{\pi }{2}-a,b=a+\frac{\pi }{2}$$を得る。また $t=\pm \pi$ ではともに $b=-1$ である。

$0<a<\pi \mathrm{/}2$ では，4本の単調な枝に対応する値の順序は$$-1<\cos a<\frac{\pi }{2}-a<a+\frac{\pi }{2}$$である。したがって4解をもつのは$$\cos a<b<\frac{\pi }{2}-a$$の部分である。

$\pi \mathrm{/}2<a<\pi$ では $\pi \mathrm{/}2-a<\cos a$ であり，左右の端点値 $-1$ も下側境界になる。よって4解をもつ条件は$$\max \{-1,\frac{\pi }{2}-a\}<b<\cos a$$である。$\pi \mathrm{/}2-a=-1$ となる $a=\pi \mathrm{/}2+1$ で下側境界が直線 $b=-1$ に切り替わる。重解または端点解を生じる境界上では個数が4にならないので，いずれも含めない。

以上を図示すると次の青い領域である。