大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第5問

(1) $n=1$ のとき $b_1=a_1$ である。さいころの目は $1,2,\dots ,6$ なので、$b_1$ が7の倍数になることはない。したがって $p_1=0$ である。 $n=2$ のとき $b_2=a_1^2+a_2$ である。$a_1$ は7で割って0でない余りを持つから、$-a_1^2$ も7で割って0でない余りである。したがって、$a_2=1,2,\dots ,6$ の中に $a_2\equiv -a_1^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ をみたすものがちょうど1つある。$a_1$ の6通りそれぞれに対して $a_2$ は1通りなので、有利な組は6通りである。よって $p_2=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$ である。

(2)
定義より、$n\geqq 2$ に対して $b_n=a_1{b}_{n-1}+a_n$ が成り立つ。実際、$$a_1{b}_{n-1}=a_1\sum _{k=1}^{n-1}{a}_1^{n-1-k}{a}_k=\sum _{k=1}^{n-1}{a}_1^{n-k}{a}_k$$であり、これに $a_n$ を加えれば $b_n$ になる。

以下、7で割った余りを考える。$a_1$ は $1,2,\dots ,6$ のいずれかなので、7で割って0ではない。

もし $b_{n-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ なら $b_n\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ であり、$a_n$ は7の倍数ではないから $b_n$ は7の倍数にならない。

一方、$b_{n-1}\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ なら、$a_1{b}_{n-1}$ も7で割って0でない。したがって $$a_n\equiv -a_1{b}_{n-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$ をみたす $a_n\in \{1,2,\dots ,6\}$ がちょうど1つ存在する。$a_n$ はそれ以前の目と独立に6通り等確率で出るので、この場合に $b_n$ が7の倍数になる条件付き確率は $\frac{1}{6}$ である。

よって $$p_n=0\cdot p_{n-1}+\frac{1}{6}(1-p_{n-1})=\frac{1-p_{n-1}}{6}$$ である。これを固定値 $\frac{1}{7}$ からのずれで書くと $$p_n-\frac{1}{7}=-\frac{1}{6}(p_{n-1}-\frac{1}{7})$$ となる。$p_1=0$ だから$$p_n-\frac{1}{7}={(-\frac{1}{6})}^{n-1}(p_1-\frac{1}{7})=-\frac{1}{7}{(-\frac{1}{6})}^{n-1}$$である。したがって $$p_n=\frac{1}{7}\{1-{(-\frac{1}{6})}^{n-1}\}$$ を得る。

確率ではなく，長さ $n$ の出目列のうち $b_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ となる個数 $q_n$ を数える。長さ $n-1$ の列で余りが0でない場合に限り，最後の目がちょうど1通りに決まるため $q_n=6^{n-1}-q_{n-1}$ となる。この個数漸化式を解いて全列数 $6^n$ で割る。

(1)
$b_1=a_1$ は7の倍数にならないので $p_1=0$ である。$b_2=a_1^2+a_2$ では，各 $a_1$ に対し$$a_2\equiv -a_1^2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$を満たす $a_2\in \{1,2,\dots ,6\}$ がちょうど1つある。よって該当列は6通りで$$p_2=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$$である。

(2)
$q_n$ を，長さ $n$ の出目列のうち $b_n$ が7の倍数となるものの個数とする。定義から$$b_n=a_1{b}_{n-1}+a_n$$である。

長さ $n-1$ の列で $b_{n-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ なら，$$b_n\equiv a_n\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$ なので，最後の目をどう選んでも該当しない。一方，$b_{n-1}\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ なら $a_1{b}_{n-1}\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ であり，$$a_n\equiv -a_1{b}_{n-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$$ を満たす目が6種類中ちょうど1つある。

したがって$$q_n=6^{n-1}-q_{n-1},q_1=0.$$ここで $r_n=q_n-6^n\mathrm{/}7$ とおくと$$r_n=-r_{n-1},r_1=-\frac{6}{7}$$であるから$$q_n=\frac{6^n}{7}-\frac{6(-1{)}^{n-1}}{7}\mathrm{.}$$全出目列は $6^n$ 通りなので$$p_n=\frac{q_n}{6^n}=\frac{1}{7}\{1-{(-\frac{1}{6})}^{n-1}\}$$である。