大阪大学 2023年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を $a^{2} + b^{2} > 1$ かつ $b \neq = 0$ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 $A (a, 0, b)$ と点 $P (x, y, 0)$ をとる．点 $O (0, 0, 0)$ を通り直線 $A P$ と垂直な平面を $α$ とし，平面 $α$ と直線 $A P$ との交点を $Q$ とする．

(1) $(A P \cdot A O)^{2} = ∣ A P ∣^{2} ∣ A Q ∣^{2}$ が成り立つことを示せ．

(2) $∣ O Q ∣ = 1$ をみたすように点 $P (x, y, 0)$ が $x y$ 平面上を動くとき，点 $P$ の軌跡を求めよ．

出典：大阪大学 2023年度前期日程一般選抜理系第4問

方針

解法1（標準解法）

$v = A P$ とおき、 $Q$ を $O Q = O A + λ v$ と表す。平面 $α$ は直線 $A P$ に垂直なので $O Q \cdot v = 0$ が成り立ち、 $Q$ は原点から直線 $A P$ に下ろした垂線の足である。(1) で射影の長さの関係を示し、(2) では $∣ O Q ∣ = 1$ から $∣ A Q ∣^{2} = a^{2} + b^{2} - 1$ を得て、内積と距離を座標で展開する。最後に逆向きも確認し、得た二次方程式全体が軌跡であることを述べる。

解法2（三角形の面積を2通りに表す方法）

$Q$ は原点から直線 $A P$ に下ろした垂線の足である。三角形 $O A P$ の面積の2乗を，底辺 $A P$ ・高さ $O Q$ で表す方法と， $O A, O P$ の内積で表す方法の2通りで計算する。 $∣ O Q ∣ = 1$ を代入すると，射影係数を求めずに軌跡の二次方程式が得られる。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$v = A P$ とおく。点 $Q$ は直線 $A P$ 上にあるので、ある実数 $λ$ を用いて $O Q = O A + λ v$ と表せる。また、平面 $α$ は直線 $A P$ と垂直であり、 $O, Q$ はともに平面 $α$ 上にある。したがって $O Q$ は $v$ と垂直で、 $O Q \cdot v = 0$ である。これに上の表示を代入すると $(O A + λ v) \cdot v = 0$ だから $λ = - \frac{O A \cdot v}{∣ v ∣ ^{2}}$ である。

一方、 $A Q = λ v$ なので

∣ A Q ∣^{2} = λ^{2} ∣ v ∣^{2} = \frac{( O A \cdot v ) ^{2}}{∣ v ∣ ^{2}}

となる。ここで $v = A P$ 、 $A O = - O A$ であるから、

(A P \cdot A O)^{2} = (v \cdot (- O A))^{2} = (O A \cdot v)^{2}

である。よって

(A P \cdot A O)^{2} = ∣ A P ∣^{2} ∣ A Q ∣^{2}

が成り立つ。

(2)

$A (a, 0, b)$ 、 $P (x, y, 0)$ より $A P = (x - a, y, - b), A O = (- a, 0, - b)$ である。したがって $A P \cdot A O = a^{2} + b^{2} - a x$ かつ $∣ A P ∣^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} + b^{2}$ である。 $Q$ は直線 $A P$ 上にあり、 $O Q ⊥ A P$ であるから、 $O Q ⊥ A Q$ でもある。よって三角形 $O A Q$ は $Q$ を直角とする直角三角形である。 $∣ O Q ∣ = 1$ のとき

∣ A Q ∣^{2} = ∣ O A ∣^{2} - ∣ O Q ∣^{2} = a^{2} + b^{2} - 1

となる。仮定 $a^{2} + b^{2} > 1$ より、この値は正である。

(1) の式に代入して $(a^{2} + b^{2} - a x)^{2} = ((x - a)^{2} + y^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1)$ を得る。左辺から右辺を引いて整理すると $(a^{2} + b^{2} - a x)^{2} - ((x - a)^{2} + y^{2} + b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1)$ $= (1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x + (1 - a^{2} - b^{2}) y^{2} + a^{2} + b^{2}$ である。したがって必要条件として $(1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x + (1 - a^{2} - b^{2}) y^{2} + a^{2} + b^{2} = 0$ を得る。

逆に、点 $P (x, y, 0)$ がこの方程式をみたすとする。上の整理を逆にたどると

(A P \cdot A O)^{2} = ∣ A P ∣^{2} (a^{2} + b^{2} - 1)

である。 $b \neq = 0$ なので $∣ A P ∣ > 0$ であり、(1) から $∣ A Q ∣^{2} = a^{2} + b^{2} - 1$ となる。直角三角形 $O A Q$ により

∣ O Q ∣^{2} = ∣ O A ∣^{2} - ∣ A Q ∣^{2} = (a^{2} + b^{2}) - (a^{2} + b^{2} - 1) = 1

である。よって $∣ O Q ∣ = 1$ が成り立つ。

したがって、求める点 $P$ の軌跡は $x y$ 平面上の二次曲線 $(1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x + (1 - a^{2} - b^{2}) y^{2} + a^{2} + b^{2} = 0$ である。

解法2（三角形の面積を2通りに表す方法）

(1)

$O Q ⊥ A P$ であり， $A, Q, P$ は一直線上にあるから，三角形 $O A Q$ は $Q$ を直角とする。よって

A O \cdot A P = ∣ A Q ∣ ∣ A P ∣

が符号を除いて成り立つ。両辺を2乗すれば

(A P \cdot A O)^{2} = ∣ A P ∣^{2} ∣ A Q ∣^{2}

を得る。

(2)

三角形 $O A P$ の面積を $S$ とする。底辺を $A P$ ，高さを $O Q = 1$ と見れば

4 S^{2} = ∣ A P ∣^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} + b^{2} . (1)

一方，二辺 $O A = (a, 0, b)$ ， $O P = (x, y, 0)$ を用いると

4 S^{2} = ∣ O A ∣^{2} ∣ O P ∣^{2} - (O A \cdot O P)^{2} .

したがって

4 S^{2} = (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2}) - a^{2} x^{2} = b^{2} x^{2} + (a^{2} + b^{2}) y^{2} . (2)

(1)，(2) を等置すると

b^{2} x^{2} + (a^{2} + b^{2}) y^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} + b^{2} .

整理して

(1 - b^{2}) x^{2} - 2 a x + (1 - a^{2} - b^{2}) y^{2} + a^{2} + b^{2} = 0

を得る。

逆にこの方程式を満たす点 $P$ では，上の面積の等式を逆にたどると，直線 $A P$ への原点からの距離が1となる。 $b \neq = 0$ より $A \neq = P$ なので直線は確定し，その垂線の足が $Q$ である。よって方程式全体が求める軌跡である。

大阪大学 2023年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（三角形の面積を2通りに表す方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

解法2（三角形の面積を2通りに表す方法）

(1)

(2)

大阪大学 2023年度
理系数学第4問