大阪大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第4問

(1) $$\vec{v}=\overrightarrow{AP}$$ とおく。点 $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて $$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\lambda \vec{v}$$ と表せる。また、平面 $\alpha$ は直線 $AP$ と垂直であり、$O,Q$ はともに平面 $\alpha$ 上にある。したがって $\overrightarrow{OQ}$ は $\vec{v}$ と垂直で、$$\overrightarrow{OQ}\cdot \vec{v}=0$$ である。これに上の表示を代入すると $$(\overrightarrow{OA}+\lambda \vec{v})\cdot \vec{v}=0$$ だから $$\lambda =-\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}}{\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2}$$ である。

一方、$$\overrightarrow{AQ}=\lambda \vec{v}$$ なので$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2={\lambda }^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{(\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}{)}^2}{\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2}$$となる。ここで $$\vec{v}=\overrightarrow{AP}$$、$$\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}$$ であるから、$$(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}{)}^2=(\vec{v}\cdot (-\overrightarrow{OA}){)}^2=(\overrightarrow{OA}\cdot \vec{v}{)}^2$$である。よって$$(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}{)}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2$$が成り立つ。

(2) $A(a,0,b)$、$P(x,y,0)$ より $$\overrightarrow{AP}=(x-a,y,-b),\overrightarrow{AO}=(-a,0,-b)$$ である。したがって $$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}=a^2+b^2-ax$$ かつ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2=(x-a{)}^2+y^2+b^2$$ である。 $Q$ は直線 $AP$ 上にあり、$OQ\perp AP$ であるから、$OQ\perp AQ$ でもある。よって三角形 $OAQ$ は $Q$ を直角とする直角三角形である。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=1$ のとき$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=a^2+b^2-1$$となる。仮定 $a^2+b^2>1$ より、この値は正である。

(1) の式に代入して $$(a^2+b^2-ax{)}^2=((x-a{)}^2+y^2+b^2)(a^2+b^2-1)$$ を得る。左辺から右辺を引いて整理すると $(a^2+b^2-ax{)}^2-((x-a{)}^2+y^2+b^2)(a^2+b^2-1)$ $$=(1-b^2)x^2-2ax+(1-a^2-b^2)y^2+a^2+b^2$$ である。したがって必要条件として $$(1-b^2)x^2-2ax+(1-a^2-b^2)y^2+a^2+b^2=0$$ を得る。

逆に、点 $P(x,y,0)$ がこの方程式をみたすとする。上の整理を逆にたどると$$(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}{)}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2(a^2+b^2-1)$$である。$b\mathrm{\ne }0$ なので $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }>0$ であり、(1) から $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2=a^2+b^2-1$$ となる。直角三角形 $OAQ$ により$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2=(a^2+b^2)-(a^2+b^2-1)=1$$である。よって $\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}\mathrm{\mid }=1$ が成り立つ。

したがって、求める点 $P$ の軌跡は $xy$ 平面上の二次曲線 $$(1-b^2)x^2-2ax+(1-a^2-b^2)y^2+a^2+b^2=0$$ である。

$Q$ は原点から直線 $AP$ に下ろした垂線の足である。三角形 $OAP$ の面積の2乗を，底辺 $AP$・高さ $OQ$ で表す方法と，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OP}$ の内積で表す方法の2通りで計算する。$\mathrm{\mid }OQ\mathrm{\mid }=1$ を代入すると，射影係数を求めずに軌跡の二次方程式が得られる。

(1)
$OQ\perp AP$ であり，$A,Q,P$ は一直線上にあるから，三角形 $OAQ$ は $Q$ を直角とする。よって$$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}=\mathrm{\mid }AQ\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }AP\mathrm{\mid }$$が符号を除いて成り立つ。両辺を2乗すれば$$(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AO}{)}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{AQ}{\mathrm{\mid }}^2$$を得る。

(2)
三角形 $OAP$ の面積を $S$ とする。底辺を $AP$，高さを $OQ=1$ と見れば$$\begin{array}{cccc}& 4S^2=\mathrm{\mid }AP{\mathrm{\mid }}^2=(x-a{)}^2+y^2+b^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$一方，二辺 $$\overrightarrow{OA}=(a,0,b)$$，$$\overrightarrow{OP}=(x,y,0)$$ を用いると$$4S^2=\mathrm{\mid }OA{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }OP{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}{)}^2\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{rl}{\displaystyle 4S^2}& {\displaystyle =(a^2+b^2)(x^2+y^2)-a^2{x}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b^2{x}^2+(a^2+b^2)y^2\mathrm{.}}\end{array}& & \text{(2)}\end{array}$$(1)，(2) を等置すると$$b^2{x}^2+(a^2+b^2)y^2=(x-a{)}^2+y^2+b^2\mathrm{.}$$整理して$$(1-b^2)x^2-2ax+(1-a^2-b^2)y^2+a^2+b^2=0$$を得る。

逆にこの方程式を満たす点 $P$ では，上の面積の等式を逆にたどると，直線 $AP$ への原点からの距離が1となる。$b\mathrm{\ne }0$ より $A\mathrm{\ne }P$ なので直線は確定し，その垂線の足が $Q$ である。よって方程式全体が求める軌跡である。