大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $N=p^a{q}^b{r}^c$ とおく。$1,2,\dots ,N$ のうち，$N$ と互いに素であるものは，$p,q,r$ のいずれでも割り切れない数である。

包除原理を用いると，その個数は$$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}-\frac{N}{r}+\frac{N}{pq}+\frac{N}{pr}+\frac{N}{qr}-\frac{N}{pqr}$$である。これは $N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})(1-\frac{1}{r})$ に等しい。したがって$$f(p^a{q}^b{r}^c)=p^a{q}^b{r}^c\cdot \frac{p-1}{p}\cdot \frac{q-1}{q}\cdot \frac{r-1}{r}$$であり，$$f(p^a{q}^b{r}^c)=p^{a-1}{q}^{b-1}{r}^{c-1}(p-1)(q-1)(r-1)$$ が成り立つ。

(2) $n$ の相異なる素因数を $p_1,p_2,\dots ,p_k$ とする。(1)と同じ包除原理により $$f(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$$ である。したがって $$\frac{n}{f(n)}=\frac{p_1{p}_2\cdots p_k}{(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)}$$ である。$f(n)$ が $n$ の約数であることは，この $n\mathrm{/}f(n)$ が整数であることと同値である。

まず，$2$ が $n$ の素因数でないとする。このとき各 $p_j$ は奇素数なので，分子 $p_1{p}_2\cdots p_k$ は奇数である。一方，分母 $(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)$ は偶数を因数にもつ。よって約分しても分母に $2$ の因数が残り，$n\mathrm{/}f(n)$ は整数にならない。したがって $2$ は必ず素因数に含まれる。

次に，$2$ は含むが $3$ は含まない場合を考える。素因数が $2$ だけならよい。もし $5$ 以上の奇素数を含むなら，$n\leqq 100$ より，そのような奇素数は高々2個である。実際，3個あれば最小でも $$n\geqq 2\cdot 5\cdot 7\cdot 11>100$$ となる。奇素数が1個なら $2<2p\mathrm{/}(p-1)\leqq 5\mathrm{/}2<3$ である。2個を $p<q$ とすると，$2pq\leqq 100$ を満たすのは $(p,q)=(5,7)$ だけであり，このときも $$2\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{6}=\frac{35}{12}<3$$ である。よってこの場合 $n\mathrm{/}f(n)$ は整数にならない。したがって，$3$ を含まないなら素因数集合は $\{2\}$ に限られる。

最後に，$2$ と $3$ を含む場合を考える。$5$ 以上の素因数をさらに2個含めると，最小でも $$2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210>100$$ となるので，追加できる素因数は高々1個である。追加素因数を $p\geqq 5$ とすると $$\frac{n}{f(n)}=2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{p}{p-1}=\frac{3p}{p-1}$$ であり，$$3<\frac{3p}{p-1}\leqq \frac{15}{4}<4$$ だから整数にならない。したがって，この場合の素因数集合は $\{2,3\}$ に限られる。

以上より，条件を満たす $n$ は $n=2^a$ または $$n=2^a{3}^b(a\geqq 1,b\geqq 1)$$ の形に限られる。逆にこれらの形では $$\frac{n}{f(n)}=2\text{または}3$$ となるので，確かに $f(n)$ は $n$ の約数である。 $5\leqq n\leqq 100$ を満たすものを列挙する。$2^a$ 型からは $8,16,32,64$ を得る。$2^a{3}^b$ 型からは $6,12,18,24,36,48,54,72,96$ を得る。したがって求める自然数は $6,8,12,16,18,24,32,36,48,54,64,72,96$ である。