大阪大学 2024年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a > 1$ とする． $x y$ 平面において，点 $(a, 0)$ を中心とする半径1の円を $C$ とする．

(1) 円 $C$ の $x ≧ a$ の部分と $y$ 軸および2直線 $y = 1$ ， $y = - 1$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V_{1}$ を求めよ．

(2) 円 $C$ で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を $V_{2}$ とする．(1)における $V_{1}$ について， $V_{1} = 2 V_{2}$ となる $a$ の値を求めよ．

出典：大阪大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1) は高さ $y$ で水平に切る。右半円上の点は $x = a + 1 - y^{2}$ なので， $y$ 軸まわりの断面は半径 $a + 1 - y^{2}$ の円になる。(2) の $V_{2}$ は円板全体を回すので，水平断面は外半径 $a + 1 - y^{2}$ ，内半径 $a - 1 - y^{2}$ の輪になる。 $\int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = π /2$ と $\int_{- 1}^{1} (1 - y^{2}) d y = 4/3$ を使って方程式を解く。

解答

(1)

円 $C$ の方程式は $(x - a)^{2} + y^{2} = 1$ である。 $x ≧ a$ の部分では $x = a + 1 - y^{2} (- 1 ≦ y ≦ 1)$ である。

問題の図形を高さ $y$ で切ると， $0 ≦ x ≦ a + 1 - y^{2}$ の線分が $y$ 軸のまわりに回転する。したがって断面積は $π (a + 1 - y^{2})^{2}$ であり， $V_{1} = π \int_{- 1}^{1} (a + 1 - y^{2})^{2} d y$ となる。ここで

\int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = \frac{π}{2}, \int_{- 1}^{1} (1 - y^{2}) d y = \frac{4}{3}

だから，

V_{1} = π {2 a^{2} + 2 a \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{3}} = 2 π a^{2} + π^{2} a + \frac{4 π}{3}

である。

(2)

円 $C$ で囲まれた図形全体を回転する。高さ $y$ では，円板の左端と右端は $x = a - 1 - y^{2}, x = a + 1 - y^{2}$ である。 $a > 1$ なので左端も正であり，回転後の断面は外半径 $a + 1 - y^{2}$ ，内半径 $a - 1 - y^{2}$ の輪になる。よって $V_{2} = π \int_{- 1}^{1} {(a + 1 - y^{2})^{2} - (a - 1 - y^{2})^{2}} d y$ である。中身は $(a + 1 - y^{2})^{2} - (a - 1 - y^{2})^{2} = 4 a 1 - y^{2}$ だから $V_{2} = 4 π a \int_{- 1}^{1} 1 - y^{2} d y = 2 π^{2} a$ である。

条件 $V_{1} = 2 V_{2}$ は $2 π a^{2} + π^{2} a + \frac{4 π}{3} = 4 π^{2} a$ である。 $π$ で割って整理すると $2 a^{2} - 3 π a + \frac{4}{3} = 0$ すなわち $6 a^{2} - 9 π a + 4 = 0$ となる。したがって $a = \frac{9 π \pm 81 π ^{2} - 96}{12}$ である。 $π > 3$ と見れば，負号を取った解は $1$ より小さい。一方，正号を取った解は $1$ より大きい。よって求める値は $a = \frac{9 π + 81 π ^{2} - 96}{12}$ である。

水平断面で見ると，(1)は円板，(2)は内外半径をもつ輪になる。

大阪大学 2024年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第4問