大阪大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
円 $C$ の方程式は $(x-a{)}^2+y^2=1$ である。$x\geqq a$ の部分では $$x=a+\sqrt{1-y^2}(-1\leqq y\leqq 1)$$ である。

問題の図形を高さ $y$ で切ると，$$0\leqq x\leqq a+\sqrt{1-y^2}$$ の線分が $y$ 軸のまわりに回転する。したがって断面積は $\pi (a+\sqrt{1-y^2}{)}^2$ であり，$$V_1=\pi {\int }_{-1}^1(a+\sqrt{1-y^2}{)}^{2}dy$$ となる。ここで$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy=\frac{\pi }{2},{\int }_{-1}^1(1-y^2)dy=\frac{4}{3}$$だから，$$V_1=\pi \{2a^2+2a\cdot \frac{\pi }{2}+\frac{4}{3}\}=2\pi a^2+{\pi }^{2}a+\frac{4\pi }{3}$$である。

(2)
円 $C$ で囲まれた図形全体を回転する。高さ $y$ では，円板の左端と右端は $$x=a-\sqrt{1-y^2},x=a+\sqrt{1-y^2}$$ である。$a>1$ なので左端も正であり，回転後の断面は外半径 $a+\sqrt{1-y^2}$，内半径 $a-\sqrt{1-y^2}$ の輪になる。よって $$V_2=\pi {\int }_{-1}^1\{(a+\sqrt{1-y^2}{)}^2-(a-\sqrt{1-y^2}{)}^2\}dy$$ である。中身は $$(a+\sqrt{1-y^2}{)}^2-(a-\sqrt{1-y^2}{)}^2=4a\sqrt{1-y^2}$$ だから $$V_2=4\pi a{\int }_{-1}^1\sqrt{1-y^2}dy=2{\pi }^{2}a$$ である。

条件 $V_1=2V_2$ は $$2\pi a^2+{\pi }^{2}a+\frac{4\pi }{3}=4{\pi }^{2}a$$ である。$\pi$ で割って整理すると $2a^2-3\pi a+\frac{4}{3}=0$ すなわち $6a^2-9\pi a+4=0$ となる。したがって $$a=\frac{9\pi \pm \sqrt{81{\pi }^2-96}}{12}$$ である。$\pi >3$ と見れば，負号を取った解は $1$ より小さい。一方，正号を取った解は $1$ より大きい。よって求める値は $$a=\frac{9\pi +\sqrt{81{\pi }^2-96}}{12}$$ である。

水平断面で見ると，(1)は円板，(2)は内外半径をもつ輪になる。