大阪大学 2025年度
理系数学 第2問

解答

解法1（三次関数の平行移動）

(1)

まず $f^{\prime }(x)=3x^2+6px+3m=3\{(x+p{)}^2-(p^2-m)\}$ である。$f(x)$ が極大値と極小値をもつので，$f^{\prime }(x)=0$ は異なる2つの実数解をもち，$p^2-m>0$ である。そこで $d=\sqrt{p^2-m}$ とおくと，$d>0$ であり，$f^{\prime }(x)=3\{(x+p{)}^2-d^2\}$ である。三次関数の増減より，左側の解で極大，右側の解で極小をとるから $\alpha =-p-d,\beta =-p+d$ である。

ここで $X=x+p$ とおく。すなわち $x=X-p$ とする。すると

したがって，$x=\alpha$ のとき $X=-d$，$x=\beta$ のとき $X=d$ であるから，

よって $f(\alpha )-f(\beta )=4(p^2-m{)}^{\frac{3}{2}}$ である。

(2)

条件 $f(\alpha )-f(\beta )=4$ と(1)より $4(p^2-m{)}^{\frac{3}{2}}=4$ である。$p^2-m>0$ だから $p^2-m=1$ すなわち $m=p^2-1$ である。

変曲点は $f^{\prime \prime }(x)=0$ で求まる。実際，$f^{\prime \prime }(x)=6x+6p=6(x+p)$ だから，変曲点の $x$ 座標は $x=-p$ である。そのときの $y$ 座標は

ここに $m=p^2-1$ を代入すると $y=2p^3-3p(p^2-1)=-p^3+3p$ である。さらに $x=-p$，すなわち $p=-x$ であるから $y=x^3-3x$ となる。逆に任意の実数 $p$ に対して $m=p^2-1$ とすれば条件を満たすので，この曲線上の点はすべて現れる。

したがって，求める軌跡は $y=x^3-3x$ である。

変曲点は $p$ が全実数を動くにつれて、次の三次曲線全体を動く。

解法2（導関数の符号つき面積）

(1)

$f^{\prime }(x)=3\{(x+p{)}^2-(p^2-m)\}$ である。極大値と極小値をともにもつので $p^2-m>0$ であり、$d=\sqrt{p^2-m}>0$ とおくと

である。区間 $\alpha <x<\beta$ では $f^{\prime }(x)<0$ だから

である。$X=x+p$ と置換すると

(2)

条件より $4d^3=4$ であり、$d>0$ なので $d=1$、したがって $m=p^2-1$ である。変曲点では

だから $x=-p$ である。また

$p=-x$ を代入すると $y=x^3-3x$ を得る。任意の実数 $p$ に対して $m=p^2-1$ とできるので、逆にこの曲線上のすべての点が現れる。よって軌跡は $y=x^3-3x$ である。