大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
まず $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+6px+3m=3\{(x+p{)}^2-(p^2-m)\}$$ である。$f(x)$ が極大値と極小値をもつので，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は異なる2つの実数解をもち，$p^2-m>0$ である。そこで $$d=\sqrt{p^2-m}$$ とおくと，$d>0$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\{(x+p{)}^2-d^2\}$ である。三次関数の増減より，左側の解で極大，右側の解で極小をとるから $$\alpha =-p-d,\beta =-p+d$$ である。

ここで $X=x+p$ とおく。すなわち $x=X-p$ とする。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =(X-p{)}^3+3p(X-p{)}^2+3m(X-p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =X^3-3(p^2-m)X+2p^3-3mp}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =X^3-3d^{2}X+2p^3-3mp\mathrm{.}}\end{array}$$したがって，$x=\alpha$ のとき $X=-d$，$x=\beta$ のとき $X=d$ であるから，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\alpha )-f(\beta )}& {\displaystyle =\{(-d{)}^3-3d^2(-d)\}-\{d^3-3d^{2}d\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2d^3)-(-2d^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4d^3\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$f(\alpha )-f(\beta )=4(p^2-m{)}^{\frac{3}{2}}$$ である。

(2)
条件 $f(\alpha )-f(\beta )=4$ と(1)より $4(p^2-m{)}^{\frac{3}{2}}=4$ である。$p^2-m>0$ だから $p^2-m=1$ すなわち $m=p^2-1$ である。

変曲点は $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0$ で求まる。実際，$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x+6p=6(x+p)$ だから，変曲点の $x$ 座標は $x=-p$ である。そのときの $y$ 座標は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(-p)}& {\displaystyle =(-p{)}^3+3p(-p{)}^2+3m(-p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2p^3-3mp\mathrm{.}}\end{array}$$ここに $m=p^2-1$ を代入すると $$y=2p^3-3p(p^2-1)=-p^3+3p$$ である。さらに $x=-p$，すなわち $p=-x$ であるから $y=x^3-3x$ となる。逆に任意の実数 $p$ に対して $m=p^2-1$ とすれば条件を満たすので，この曲線上の点はすべて現れる。

したがって，求める軌跡は $y=x^3-3x$ である。

変曲点は $p$ が全実数を動くにつれて、次の三次曲線全体を動く。

極大点と極小点の間では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ なので、極値差を $-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$ として求める。$X=x+p$、$d=\sqrt{p^2-m}$ とおけば被積分関数は左右対称な2次式になり、面積計算だけで $4d^3$ が得られる。(2)は $d=1$ を使い、変曲点を媒介変数 $p$ で表して消去する。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3\{(x+p{)}^2-(p^2-m)\}$$ である。極大値と極小値をともにもつので $p^2-m>0$ であり、$$d=\sqrt{p^2-m}>0$$ とおくと$$\alpha =-p-d,\beta =-p+d$$である。区間 $\alpha <x<\beta$ では $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ だから$$f(\alpha )-f(\beta )=-{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)dx$$である。$X=x+p$ と置換すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(\alpha )-f(\beta )}& {\displaystyle ={\int }_{-d}^{d}3(d^2-X^2)dX}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3{[d^{2}X-\frac{X^3}{3}]}_{-d}^d}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4d^3=4(p^2-m{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
条件より $4d^3=4$ であり、$d>0$ なので $d=1$、したがって $m=p^2-1$ である。変曲点では$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6(x+p)=0$$だから $x=-p$ である。また$$y=f(-p)=2p^3-3mp=2p^3-3p(p^2-1)=-p^3+3p\mathrm{.}$$$p=-x$ を代入すると $y=x^3-3x$ を得る。任意の実数 $p$ に対して $m=p^2-1$ とできるので、逆にこの曲線上のすべての点が現れる。よって軌跡は $y=x^3-3x$ である。