大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$\overrightarrow{AO}=(0,-1,-1),\overrightarrow{AP}=(x,y-1,-1)$$ である。したがって $$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP}=2-y$$ であり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AO}\mathrm{\mid }=\sqrt{2},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AP}\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2+1}$$である。

$\mathrm{\angle }OAP={30}^{\circ }$ より $$\frac{2-y}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y-1{)}^2+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。この式を整理する。両辺を2乗して $$4(2-y{)}^2=6\{x^2+(y-1{)}^2+1\}$$ となる。これを展開すると $3x^2+y^2+2y-2=0$ すなわち $3x^2+(y+1{)}^2=3$ である。なお，この式と $y\geqq 0$ から $y\leqq \sqrt{3}-1<2$ となるので，もとの内積の符号条件 $2-y>0$ も満たされる。

ここで $Y=y+1$ とおく。$y\geqq 0$ より $1\leqq Y\leqq \sqrt{3}$ であり，楕円の式は $3x^2+Y^2=3$ となる。したがって $$x=\pm \sqrt{\frac{3-Y^2}{3}}$$ である。求める量は $(x+1)(y+1)=(x+1)Y$ である。

まず最大値を調べる。$Y>0$ なので，最大値は $x$ が正の枝で起こる。そこで$$\mathrm{\Phi }(Y)=Y(1+\sqrt{\frac{3-Y^2}{3}})(1\leqq Y\leqq \sqrt{3})$$とおく。$s=\sqrt{3-Y^2}$ と書くと $$\mathrm{\Phi }(Y)=Y+\frac{Y}{\sqrt{3}}s$$ であり，$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)=1+\frac{1}{\sqrt{3}}(s-\frac{Y^2}{s})=1+\frac{3-2Y^2}{\sqrt{3}\sqrt{3-Y^2}}$$である。${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)=0$ とすると $$2Y^2-3=\sqrt{3}\sqrt{3-Y^2}$$ であり，この範囲で解は $Y=\frac{3}{2}$ である。実際，$1<Y<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ で ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)>0$，${\displaystyle \frac{3}{2}}<Y<\sqrt{3}$ で ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)<0$ となるので，ここで最大をとる。このとき $$x=\sqrt{\frac{3-(3\mathrm{/}2{)}^2}{3}}=\frac{1}{2}$$ であるから，最大値は $$(\frac{1}{2}+1)\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$$ である。

次に最小値を調べる。$Y>0$ なので，最小値は $x$ が負の枝で起こる。そこで $$\mathrm{\Psi }(Y)=Y(1-\sqrt{\frac{3-Y^2}{3}})$$ とおく。同様に微分すると $${\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)=1-\frac{3-2Y^2}{\sqrt{3}\sqrt{3-Y^2}}$$ である。$1\leqq Y<\sqrt{3}$ では $$\sqrt{3}\sqrt{3-Y^2}>0$$ であり，直接確認すると ${\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)>0$ である。例えば $${\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\prime }}(Y)>0⟺\sqrt{3}\sqrt{3-Y^2}>3-2Y^2$$ であり，右辺が $0$ 以下なら明らかで，右辺が正のときは2乗して $3(3-Y^2)>(3-2Y^2{)}^2$ すなわち $Y^2(9-4Y^2)>0$ を得る。これは $1\leqq Y<\sqrt{3\mathrm{/}2}$ で成り立つ。したがって $\mathrm{\Psi }$ は範囲全体で増加し，最小は $Y=1$ でとる。

$Y=1$ のとき $$x=-\sqrt{\frac{3-1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$ であるから，最小値は $$(1-\frac{\sqrt{6}}{3})\cdot 1=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$$ である。

以上より，最大値は $\frac{9}{4}$ 最小値は $1-\frac{\sqrt{6}}{3}$ である。

点 $(x,y)$ は楕円 $3x^2+(y+1{)}^2=3$ のうち $y\geqq 0$ の弧上を動く。最大・最小を与える点は次の位置にある。

内積条件を楕円 $3x^2+(y+1{)}^2=3$ に直した後、弧全体を $x=\sin \theta$、$y+1=\sqrt{3}\cos \theta$ と一度に媒介表示する。目的関数の導関数は $(1+\sin \theta )(1-2\sin \theta )$ に因数分解できるため、最大点と両端の比較が短くなる。

$$\overrightarrow{AO}=(0,-1,-1)$$、$$\overrightarrow{AP}=(x,y-1,-1)$$ なので、角度条件を2乗して整理すると$$3x^2+(y+1{)}^2=3$$を得る。$y\geqq 0$ のもとでは $2-y>0$ も成り立つため、2乗による余分な点はない。

$Y=y+1$ とし、$$x=\sin \theta ,Y=\sqrt{3}\cos \theta$$とおく。$1\leqq Y\leqq \sqrt{3}$ だから、$$-{\theta }_0\leqq \theta \leqq {\theta }_0$$、$$\sin {\theta }_0=\sqrt{2\mathrm{/}3}$$ とできる。求める量は$$F(\theta )=\sqrt{3}(1+\sin \theta )\cos \theta$$である。微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=\sqrt{3}(1+\sin \theta )(1-2\sin \theta )$$となる。この範囲では $1+\sin \theta >0$ なので、$F$ は $\sin \theta =1\mathrm{/}2$ まで増加し、その後減少する。よって最大値は$$\sqrt{3}(1+\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{4}$$である。

最小値は両端のいずれかでとる。左端では $$\sin \theta =-\sqrt{2\mathrm{/}3}$$、$\cos \theta =1\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから $F=1-\sqrt{6}\mathrm{/}3$、右端では $F=1+\sqrt{6}\mathrm{/}3$ である。したがって最小値は $1-\sqrt{6}\mathrm{/}3$ である。