大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
$t>0$ とする。$t\leqq x\leqq 2t$ では $x>0$ であり，$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }\leqq 1$ だから$$\mid {\int }_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}dx\mid \leqq {\int }_t^{2t}\frac{\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }}{x^2}dx\leqq {\int }_t^{2t}\frac{1}{x^2}dx$$である。右辺は $${\int }_t^{2t}\frac{1}{x^2}dx={[-\frac{1}{x}]}_t^{2t}=\frac{1}{2t}$$ であり，${\displaystyle \frac{1}{2t}}<{\displaystyle \frac{1}{t}}$ である。したがって $$-\frac{1}{t}<{\int }_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}dx<\frac{1}{t}$$ が成り立つ。

(2)
${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ を微分すると $${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$$ である。よって $$\frac{\cos x}{x}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}+\frac{\sin x}{x^2}$$ であり，積分して$${\int }_t^{2t}\frac{\cos x}{x}dx={\left[\frac{\sin x}{x}\right]}_t^{2t}+{\int }_t^{2t}\frac{\sin x}{x^2}dx$$を得る。

第1項は$$\mid {\left[\frac{\sin x}{x}\right]}_t^{2t}\mid =\mid \frac{\sin 2t}{2t}-\frac{\sin t}{t}\mid \leqq \frac{1}{2t}+\frac{1}{t}$$なので $t\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づく。第2項も(1)より絶対値が $1\mathrm{/}t$ 未満であるから $0$ に近づく。したがって $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_t^{2t}\frac{\cos x}{x}dx=0$$ である。

(3)
積和公式より $$f(x)=\sin \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 2x)$$ である。したがって$${\int }_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^t\frac{\cos x}{x}dx-\frac{1}{2}{\int }_1^t\frac{\cos 2x}{x}dx$$である。

第2項で $u=2x$ とおくと，$du=2dx$，$x=u\mathrm{/}2$ だから $${\int }_1^t\frac{\cos 2x}{x}dx={\int }_2^{2t}\frac{\cos u}{u}du$$ である。よって，$t>2$ として整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^t\frac{f(x)}{x}dx}& {\displaystyle =\frac{1}{2}({\int }_1^t\frac{\cos x}{x}dx-{\int }_2^{2t}\frac{\cos x}{x}dx)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}({\int }_1^2\frac{\cos x}{x}dx-{\int }_t^{2t}\frac{\cos x}{x}dx)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)より $$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_t^{2t}\frac{\cos x}{x}dx=0$$ であるから，両辺の極限を取って$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\int }_1^t\frac{f(x)}{x}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{\cos x}{x}dx$$を得る。