大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線 $C:y=x-x^3$ について $y^{\mathrm{\prime }}=1-3x^2$ である。したがって，$C$ 上の点 $(s,s-s^3)$ における接線は $y-(s-s^3)=(1-3s^2)(x-s)$ であり，整理すると $$l_s:y=(1-3s^2)x+2s^3$$ となる。よって $$l_0:y=x,l_1:y=-2x+2,l_t:y=(1-3t^2)x+2t^3$$ である。

まず $P$ は $l_0$ と $l_1$ の交点なので $x=-2x+2$ より $$P=(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$$ である。次に $Q$ は $l_0$ と $l_t$ の交点なので $x=(1-3t^2)x+2t^3$ であり，$t>0$ より $$3t^{2}x=2t^3,x=\frac{2t}{3}$$ となる。したがって $$Q=(\frac{2t}{3},\frac{2t}{3})$$ である。さらに $R$ は $l_1$ と $l_t$ の交点なので $-2x+2=(1-3t^2)x+2t^3$ より $3(1-t^2)x=2(1-t^3)$ である。$0<t<1$ だから $1-t^2\mathrm{\ne }0$ であり，$$x=\frac{2(1-t^3)}{3(1-t^2)}=\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)}$$ を得る。これを $y=-2x+2$ に代入して $$y=\frac{2(1-t)(2t+1)}{3(t+1)}$$ となる。すなわち $$R=(\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},\frac{2(1-t)(2t+1)}{3(t+1)})$$ である。

点 $P,Q$ はともに直線 $y=x$ 上にある。したがって $$PQ=\sqrt{2}(\frac{2}{3}-\frac{2t}{3})=\frac{2\sqrt{2}(1-t)}{3}$$ である。また，点 $R=(X_R,Y_R)$ について $$X_R-Y_R=\frac{2(t^2+t+1)-2(1-t)(2t+1)}{3(t+1)}=\frac{2t^2}{t+1}$$ であるから，$R$ から直線 $y=x$ までの距離は $$\frac{\mathrm{\mid }{X}_R-Y_R\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}{t}^2}{t+1}$$ である。よって三角形 $PQR$ の面積は$$S(t)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}(1-t)}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}{t}^2}{t+1}=\frac{2t^2(1-t)}{3(t+1)}$$である。

(2) $$S(t)=\frac{2}{3}\cdot \frac{t^2(1-t)}{t+1}$$ である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot \frac{(2t-3t^2)(t+1)-(t^2-t^3)}{(t+1{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{3}\cdot \frac{2t-2t^2-2t^3}{(t+1{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{4t(t^2+t-1)}{3(t+1{)}^2}}\end{array}$$である。$0<t<1$ では $t>0$，$(t+1{)}^2>0$ なので，符号は $-(t^2+t-1)$ で決まる。 $t^2+t-1=0$ の正の解は $$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ である。$0<t<\alpha$ では $t^2+t-1<0$ だから $S^{\mathrm{\prime }}(t)>0$，$\alpha <t<1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ である。したがって $S(t)$ は $t=\alpha$ で最大となる。

最大値を求める。${\alpha }^2+\alpha =1$ より $1-\alpha ={\alpha }^2$，また $1+\alpha =1\mathrm{/}\alpha$ である。したがって$$S(\alpha )=\frac{2{\alpha }^2(1-\alpha )}{3(1+\alpha )}=\frac{2{\alpha }^4}{3(1+\alpha )}=\frac{2{\alpha }^5}{3}$$である。$\alpha =(\sqrt{5}-1)\mathrm{/}2$ を代入して整理すると $$\frac{2{\alpha }^5}{3}=\frac{5\sqrt{5}-11}{3}$$ となる。よって求める $t$ と最大値は$$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2},S_{\max }=\frac{5\sqrt{5}-11}{3}$$である。

3本の接線の交点を求めた後，$\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR}$ の行列式で面積を計算する。最大化では正の関数 $t^2(1-t)\mathrm{/}(1+t)$ の対数微分を使い，微分式の展開を短くする。

(1)
接線は$$l_s:y=(1-3s^2)x+2s^3$$である。したがって$$P=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),Q=(\frac{2t}{3},\frac{2t}{3}),$$$$R=(\frac{2(t^2+t+1)}{3(t+1)},\frac{2(1-t)(2t+1)}{3(t+1)})\mathrm{.}$$ここで$$\overrightarrow{PQ}=\frac{2(t-1)}{3}(1,1)$$である。行列式による三角形の面積公式を使うと$$S(t)=\frac{1}{2}\mid \det \left(\begin{array}{cc}{Q}_x-P_x& Q_y-P_y\\ R_x-P_x& R_y-P_y\end{array}\right)\mid =\frac{2t^2(1-t)}{3(t+1)}\mathrm{.}$$(2)
$0<t<1$ では $S(t)>0$ なので，定数因子を除いた$$H(t)=\frac{t^2(1-t)}{1+t}$$を最大にすればよい。対数微分により$$\frac{H^{\mathrm{\prime }}(t)}{H(t)}=\frac{2}{t}-\frac{1}{1-t}-\frac{1}{1+t}=\frac{2(1-t-t^2)}{t(1-t^2)}\mathrm{.}$$分母は正であるから，$H^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号は $1-t-t^2$ の符号に一致する。したがって$$\alpha =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$までは増加し，その後は減少する。ゆえに $t=\alpha$ で最大となる。$1-\alpha ={\alpha }^2$，$1+\alpha =1\mathrm{/}\alpha$ より$$S(\alpha )=\frac{2{\alpha }^5}{3}=\frac{5\sqrt{5}-11}{3}\mathrm{.}$$よって$$t=\frac{\sqrt{5}-1}{2},S_{\max }=\frac{5\sqrt{5}-11}{3}\mathrm{.}$$