大阪大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $z=x+yi$ とおく。ただし $x,y$ は実数である。このとき $\bar{z}=x-yi$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(z)}& {\displaystyle =\frac{(1-ai)(x+yi)+(1+ai)(x-yi)}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(x+ay)+(y-ax)i+(x+ay)+(-y+ax)i}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x+ay}\end{array}$$である。$x,y,a$ はいずれも実数なので，$x+ay$ は実数である。したがって $f(z)$ は実数である。

(2)
(1)より，$z=x+yi$ とすると $f(z)=x+ay$ である。また $i=0+1i$ だから $f(i)=a$ である。条件式は $f(z)\{f(z)-a-2\}=-2a$ すなわち $f(z{)}^2-(a+2)f(z)+2a=0$ である。これは $\{f(z)-a\}\{f(z)-2\}=0$ と因数分解できる。したがって求める点は，単位円 $x^2+y^2=1$ 上にあり，かつ $x+ay=a$ または $x+ay=2$ を満たす点である。

まず直線 $L_1:x+ay=a$ を考える。原点からこの直線までの距離は $\frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+a^2}}$ であり，これはすべての実数 $a$ について $$\frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+a^2}}<1$$ を満たす。よって $L_1$ は単位円と常に2点で交わる。

次に直線 $L_2:x+ay=2$ を考える。原点から $L_2$ までの距離は $\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}$ である。したがって，単位円との交点数は $$\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}>1⟺\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\sqrt{3}$$ のとき $0$ 個，$$\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}=1⟺\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\sqrt{3}$$ のとき接して $1$ 個，$$\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}<1⟺\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\sqrt{3}$$ のとき $2$ 個である。

ただし，$L_1$ と $L_2$ が一致する場合は重複して数えてはいけない。2本の直線は左辺が同じなので，一致するのは $a=2$ のときだけである。この場合は $L_1=L_2$ であり，単位円との交点は2個である。

以上より$$N(a)=\{\begin{array}{ll}2& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\sqrt{3}),\\ 3& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\sqrt{3}),\\ 2& (a=2),\\ 4& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\sqrt{3},a\mathrm{\ne }2)\end{array}$$である。

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ を $z=\cos \theta +i\sin \theta$ と表し，$f(z)=\cos \theta +a\sin \theta$ の値域と各値を取る個数を利用する。単位円と直線の距離を用いる解法1と同じ幾何を，三角関数の振幅で処理する。

(1)
$z=x+iy$ とすれば$$f(z)=x+ay\in \mathbb{R},$$なので (1) が示された。

(2)
また $f(i)=a$ であり，条件式は$$\{f(z)-a\}\{f(z)-2\}=0$$と因数分解できる。

いま $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ より$$z=\cos \theta +i\sin \theta (0\leqq \theta <2\pi )$$とおく。このとき$$f(z)=\cos \theta +a\sin \theta =\sqrt{1+a^2}\cos (\theta -\varphi )$$と書ける。ただし $\varphi$ は
$\cos \varphi =1\mathrm{/}\sqrt{1+a^2}$，
$\sin \varphi =a\mathrm{/}\sqrt{1+a^2}$ を満たす角である。したがって方程式 $f(z)=c$ の解の個数は$$\{\begin{array}{ll}2& (\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }<\sqrt{1+a^2}),\\ 1& (\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=\sqrt{1+a^2}),\\ 0& (\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }>\sqrt{1+a^2})\end{array}$$である。

$c=a$ については常に $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\sqrt{1+a^2}$ だから2個である。$c=2$ については$$2⋚\sqrt{1+a^2}⟺\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }⪌\sqrt{3}$$より，
$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\sqrt{3}$ で0個，
$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\sqrt{3}$ で1個，
$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\sqrt{3}$ で2個となる。

ただし $a=2$ では二つの条件 $f(z)=a$ と $f(z)=2$ が同一であり，重複を除くと2個である。よって$$N(a)=\{\begin{array}{ll}2& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<\sqrt{3}),\\ 3& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }=\sqrt{3}),\\ 2& (a=2),\\ 4& (\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }>\sqrt{3},a\mathrm{\ne }2)\mathrm{.}\end{array}$$