大阪大学 2026年度理系数学第5問解答・解説

問題

さいころ1個を3回連続して投げ，1回目に出た目を $a$ ，2回目に出た目を $b$ ，3回目に出た目を $c$ とする．このとき， $a, b, c$ のなかで最大の数を $m$ とおき， $x = \frac{( a + b + c ) ^{2}}{3 ab c}$ とおく．

(1) $a = b = c$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(2) $m = 6$ であって， $x$ が整数である確率を求めよ．

(3) $m$ が偶数であったとき， $x$ が整数である条件つき確率を求めよ．

出典：大阪大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$x$ は $a, b, c$ の順序に依存しないので，まず $1 ≦ p ≦ q ≦ r ≦ 6$ と並べ替えた三つ組で整数条件を分類する。分類表を作ったあと，確率では順序つきの出方に戻し，同じ数を含む組は順列数を間違えないように数える。(3) の条件付き確率では，分母は $m = 2, 4, 6$ それぞれについて「最大値がちょうどその数」の出方を数え，分子は整数条件を満たす組のうち最大値が偶数のものだけを順序つきで数える。

解答

(1)

$a = b = c = d$ とおくと

x = \frac{( 3 d ) ^{2}}{3 d ^{3}} = \frac{3}{d} .

$d \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ より，整数となるのは $d = 1, 3$ の2通りである。したがって

\frac{2}{6 ^{3}} = \frac{1}{108} .

以下，必要な整数解を分類する。対称性から $1 ≦ p ≦ q ≦ r ≦ 6$ としてよい。 $x$ が整数なら

r ∣ (p + q + r)^{2} ⟹ r ∣ (p + q)^{2} .

この必要条件を満たす候補だけを元の式へ代入すると，次の表になる。

r 123456 候補 (p, q) (1, 1) (1, 1), (2, 2) (1, 2), (3, 3) (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4) (1, 4), (2, 3), (5, 5) (1, 5), (2, 4), (3, 3), (6, 6) 整数解 (p, q, r) (1, 1, 1) (x = 3) なし (1, 2, 3) (x = 2), (3, 3, 3) (x = 1) (1, 1, 4) (x = 3) なし (2, 4, 6) (x = 1)

中央列は必要条件を満たす全候補なので，右列で分類は尽くされている。

(2)

$m = 6$ の整数解は $(2, 4, 6)$ のみで，3数は相異なる。よって

\frac{3 !}{6 ^{3}} = \frac{1}{36} .

(3)

$m$ が偶数である出方は

(2^{3} - 1^{3}) + (4^{3} - 3^{3}) + (6^{3} - 5^{3}) = 135

通りである。そのうち整数解は $(1, 1, 4)$ の順列3通りと $(2, 4, 6)$ の順列6通りであるから，条件付き確率は

\frac{3 + 6}{135} = \frac{1}{15} .

大阪大学 2026年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2026年度
理系数学第5問