上智大学 2014年度学部学科試験経営学科数学第3問

2個のさいころ $A, B$ を投げ，出た目をそれぞれ $m, n$ とする。
座標平面上に，原点を頂点として下に凸で点 $P (m, n)$ を通る放物線
$C_{1}$ と，点 $(0, 13 / 2)$ を頂点として上に凸で $P$ を通る放物線
$C_{2}$ をとる。

(1) $C_{1} : y = f (x), C_{2} : y = g (x)$ の方程式を求めよ。

(2) $x ≧ 0$ の範囲で $C_{1}, C_{2}$ と $y$ 軸に囲まれる面積を
$S$ とする。 $S$ を $m, n$ で表し， $S$ の期待値を求めよ。
また $10 ≦ S ≦ 20$ を満たす $(m, n)$ は何通りあるか。

(3) $P$ における $C_{1}, C_{2}$ の接線を $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ とする。
2直線が垂直に交わる $(m, n)$ を求め，それぞれの直線と $x$ 軸との
交点の $x$ 座標を求めよ。

難易度6/ 10計算量7/ 10目安29分

確率、積分、微分　期待値、面積計算、接線・法線、範囲評価

方針

頂点形 $a x^{2} + k$ に点 $P$ を代入する。
囲まれた領域は $y$ 軸対称な2放物線間の右半分なので積分する。
接線の垂直条件は2つの微分係数の積が $- 1$ となることを使い，
さいころの目の範囲で整数解を絞る。

解答

(1) 点 $P$ を代入して $f (x) = \frac{n}{m^{2}} x^{2}, g (x) = \frac{1}{m^{2}} (n - \frac{13}{2}) x^{2} + \frac{13}{2} .$ (2) 2曲線は $y$ 軸対称だから，囲まれた全領域の半分を積分して $S = \frac{1}{2} \int_{- m}^{m} {g (x) - f (x)} d x = \frac{13}{3} m .$ したがって $E [S] = (13 / 3) E [m] = 91 / 6$ 。
また $10 ≦ S ≦ 20$ は $m = 3, 4$ に相当し，
$n$ は6通りずつなので12通り。

(3) $P$ での傾きは $2 n / m$ と $(2 n - 13) / m$ 。
積が $- 1$ となる条件を $1 ≦ m, n ≦ 6$ で調べると
$(m, n) = (6, 2)$ のみ。接線を求めると
$ℓ_{1} : y = (2 / 3) x - 2$ ， $ℓ_{2} : y = - (3 / 2) x + 11$ 。
したがって $x$ 軸との交点の $x$ 座標は順に $3, 22 / 3$ 。

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出典: 上智大学 2014年度経営学科数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2014年度 学部学科試験経営学科数学 第3問

方針

解答

上智大学 2014年度学部学科試験経営学科数学第3問