上智大学 2012年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1) $$2\sqrt{3}{\sin }^2\frac{x}{2}-\sin x=\sqrt{3}(1-\cos x)-\sin x=\sqrt{3}-(\sqrt{3}\cos x+\sin x)$$である。ここで$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos (x-\frac{\pi }{6})$$より$$f(x)=a+\sqrt{3}-2\cos (x-\frac{\pi }{6})$$と書ける。$0\le x\le \pi$ では $$x=\frac{\pi }{6}$$ のとき $\cos (x-\frac{\pi }{6})$ は最大値1をとるから，$$\min f(x)=a+\sqrt{3}-2$$.
これが $\sqrt{3}$ に等しいので
$a=2$
である。また，最小となるのは$$x=\frac{\pi }{6}$$である。

(2)
隣り合う2つの組は
$(1,2),(2,3),\dots ,(n-1,n)$
の $n-1$ 通りである。よって，隣り合わない2つの組合せの総数は$$\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$$である。

次に，$1\le a<b<c\le n$ がどの2つも隣り合わないとすると$$b\ge a+2,c\ge b+2$$である。そこで$$a^{\mathrm{\prime }}=a,b^{\mathrm{\prime }}=b-1,c^{\mathrm{\prime }}=c-2$$とおくと
$1\le a^{\mathrm{\prime }}<b^{\mathrm{\prime }}<c^{\mathrm{\prime }}\le n-2$
が任意に対応する。したがって個数は
$\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{6}$
である。

(3)
$O$ を原点，$A=\mathbf{a}$，$B=\mathbf{b}$ とおくと$$C=\frac{1}{4}\mathbf{a},D=\frac{4}{7}\mathbf{b}$$である。
点 $P$ を
$P=(1-u)A+uD$
とおくと$$P=(1-u)\mathbf{a}+\frac{4u}{7}\mathbf{b}$$である。また
$P=vB+(1-v)C$
とおくと$$P=\frac{1-v}{4}\mathbf{a}+v\mathbf{b}$$である。係数を比較して$$1-u=\frac{1-v}{4},\frac{4u}{7}=v$$を得る。これを解くと$$u=\frac{7}{8},v=\frac{1}{2}$$である。
したがって$$AP:PD=\frac{7}{8}:\frac{1}{8}=7:1$$より
$s=\frac{7}{8}$,
また$$BP:PC=\frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1:1$$より
$t=\frac{1}{2}$
である。

さらに $$P=\frac{1}{8}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{b}$$ である。直線 $OP$ 上の点は $\lambda P$ と書け，これが直線 $AB$ 上にあるためには係数の和が1になればよいから$$\lambda (\frac{1}{8}+\frac{1}{2})=1$$すなわち
$\lambda =\frac{8}{5}$
である。ゆえに$$\overrightarrow{OQ}=\frac{8}{5}\overrightarrow{OP}$$である。