上智大学 2012年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1)
直線 $y=-6x$ と放物線 $C:y=x^2-2ax+4a$ が接するためには，連立して得られる二次方程式が重解をもてばよい。
$x^2-2ax+4a=-6x$
より
$x^2+(6-2a)x+4a=0$.
判別式を $D$ とすると$$D=(6-2a{)}^2-16a=4(a^2-10a+9)$$である。接するから $D=0$ なので
$a^2-10a+9=0$
$(a-1)(a-9)=0$
より
$a=1,9$
である。

(2)
放物線 $C$ の頂点は $x=a$ のときで，その $y$ 座標は
$a^2-2a\cdot a+4a=4a-a^2$
である。よって頂点は $(a,4a-a^2)$ であり，$a=x$ と消去して
$y=4x-x^2$
を得る。したがって軌跡の方程式は
$y=-x^2+4x$
である。

(3)
点 $(x,y)$ を $C$ が通るためには，ある実数 $a$ が存在して
$y=x^2-2ax+4a$
を満たせばよい。これを $a$ について整理すると
$y-x^2=2a(2-x)$
である。

$x\mathrm{\ne }2$ のときは$$a=\frac{y-x^2}{2(2-x)}$$と一意に定まり，そのような実数 $a$ が存在する。
$x=2$ のときは左辺が 0 でなければならないから
$y=4$
である。

したがって必要十分条件は$$(x\mathrm{\ne }2)\text{ または }(y=4)$$である。言い換えると，$x=2$ のときに限り $y=4$ を要する。

(4)
放物線 $C$ の $x=t$ における接線を考える。$C$ の導関数は
$y^{\mathrm{\prime }}=2x-2a$
だから，接点 $x=t$ における傾きは $2t-2a$ である。したがって接線は$$y-(t^2-2at+4a)=(2t-2a)(x-t)$$となり，整理すると
$y=(2t-2a)x-t^2+4a$
である。
この接線が点 $(3,-1)$ を通るためには
$-1=3(2t-2a)-t^2+4a$
すなわち
$2a=6t-t^2+1$
である。右辺は
$2a=10-(t-3{)}^2$
と書けるから$$a=5-\frac{(t-3{)}^2}{2}$$である。
よって $a\le 5$ が必要である。また，$a\le 5$ なら
$(t-3{)}^2=2(5-a)$
を満たす実数 $t$ が存在するので接線が引ける。

したがって必要十分条件は
$a\le 5$
である。