上智大学 2013年度 一般選抜理工学部数学 第4問

(1)

半径1の円$C$の点$P(\cos \theta ,\sin \theta )$における接線の方程式は$$x\cos \theta +y\sin \theta =1$$である。
$x$軸との交点$A$では$y=0$だから
$x\cos \theta =1$
より
$A(\frac{1}{\cos \theta },0)$
であり，
$OA=\frac{1}{\cos \theta }$
である。
同様に，$y$軸との交点$B$では$x=0$だから
$y\sin \theta =1$
より
$B(0,\frac{1}{\sin \theta })$
であり，
$OB=\frac{1}{\sin \theta }$
である。
さらに$$AB=\sqrt{{\left(\frac{1}{\cos \theta }\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sin \theta }\right)}^2}=\sqrt{\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }}=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }$$である。

したがって$$OA=\frac{1}{\cos \theta },OB=\frac{1}{\sin \theta },AB=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta }$$である。

(2)

円錐の底面半径を$r$，高さを$h$とする。軸を含む断面で考えると，頂点$(0,h)$と底面の端点$(r,0)$を結ぶ母線は直線であり，この直線が原点を中心とする半径1の円に接する。したがって，原点からこの直線への距離が1である。
直線の方程式は
$hx+ry-rh=0$
であるから，原点からの距離は
$\frac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}}$
であり，これが1に等しい。よって$$\frac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}}=1$$すなわち
$r^2{h}^2=r^2+h^2$
である。

これより$$r^2=\frac{h^2}{h^2-1}$$と表せる。

表面積を$S$とすると，側面積は$\pi r\sqrt{r^2+h^2}$，底面積は$\pi r^2$である。条件式より$\sqrt{r^2+h^2}=rh$だから$$S=\pi r(rh)+\pi r^2=\pi r^2(h+1)$$である。ここに$r^2={\displaystyle \frac{h^2}{h^2-1}}$を代入すると$$S=\pi \frac{h^2}{h^2-1}(h+1)=\pi \frac{h^2}{h-1}(h>1)$$となる。
これを微分すると$$\frac{d}{dh}\left(\frac{h^2}{h-1}\right)=\frac{2h(h-1)-h^2}{(h-1{)}^2}=\frac{h(h-2)}{(h-1{)}^2}$$であるから，$h>1$で最小となるのは$h=2$である。このとき$$r^2=\frac{4}{3}$$であり，$$S=\pi \cdot \frac{4}{3}\cdot 3=4\pi$$である。したがって，表面積の最小値は
$4\pi$
で，そのときの頂点の$z$座標は
$2$
である。

次に体積$V$は
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
であるから，$r^2={\displaystyle \frac{h^2}{h^2-1}}$を代入して$$V=\frac{1}{3}\pi \frac{h^3}{h^2-1}(h>1)$$となる。これを微分すると$$\frac{d}{dh}\left(\frac{h^3}{h^2-1}\right)=\frac{3h^2(h^2-1)-2h^4}{(h^2-1{)}^2}=\frac{h^2(h^2-3)}{(h^2-1{)}^2}$$であるから，$h>1$で最小となるのは$h=\sqrt{3}$である。このとき$$r^2=\frac{3}{2}$$より$$V=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$$である。
したがって，体積の最小値は
$\frac{\sqrt{3}\pi }{2}$
で，そのときの頂点の$z$座標は
$\sqrt{3}$
である。