上智大学 2013年度 一般選抜理工学部数学 第1問

(1) $$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$は $(x,y)\mapsto (y,x)$ だから，直線 $y=x$ に関する対称移動である。

直線 $y=(\tan \varphi )x$ に関する対称移動の行列は$$\left(\begin{array}{cc}\cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\ \sin 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{array}\right)$$である。第2の行列では $2\varphi =\pi \mathrm{/}3$ なので，直線
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$
に関する対称移動である。

第3の行列は回転行列$$\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{6}& -\sin \frac{\pi }{6}\\ \sin \frac{\pi }{6}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right)$$だから，原点のまわりの反時計回り ${30}^{\circ }$ の回転移動である。

(2)

$P=(x,y)$ とする。$x$ 軸に関する対称移動の後に ${30}^{\circ }$ 回転すると$$Q=(\frac{\sqrt{3}x+y}{2},\frac{x-\sqrt{3}y}{2})$$となる。2つの変換はいずれも距離を保つので$$\frac{OQ}{OP}=1$$.
$O,P,Q$ が一直線上にある条件は$$x\frac{x-\sqrt{3}y}{2}-y\frac{\sqrt{3}x+y}{2}=0$$,
すなわち
$x^2-2\sqrt{3}xy-y^2=0$
である。$x\mathrm{\ne }0$ として $m=y\mathrm{/}x$ とおけば
$m^2+2\sqrt{3}m-1=0$
より$$m=2-\sqrt{3},m=-(2+\sqrt{3})$$.
したがって求める2直線は$$y=(2-\sqrt{3})x,y=-(2+\sqrt{3})x$$である。