上智大学 2013年度 一般選抜理工学部数学 第2問

(1)

円の中心は$A(4\sqrt{2},4\sqrt{2})$，原点は$O=(0,0)$であるから$$OA=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=8$$である。
接点$B$では半径$AB$が接線$OB$に垂直なので，$\mathrm{△}OAB$は$B$を直角とする直角三角形である。よって$$OB=\sqrt{O{A}^2-A{B}^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$$.

また$$\cos \mathrm{\angle }AOB=\frac{OB}{OA}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$より
$\mathrm{\angle }AOB={30}^{\circ }$.
$OA$は$x$軸の正の向きとなす角が${45}^{\circ }$であるから，接線$OB$はその下側にあり，$x$軸の正の向きとなす角は$${45}^{\circ }-{30}^{\circ }={15}^{\circ }$$である。
したがって$$B=(4\sqrt{3}\cos {15}^{\circ },4\sqrt{3}\sin {15}^{\circ })$$であり，$$\cos {15}^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$だから，$B$の$x$座標は$$4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}$$である。

(2)

弧$BP$の長さは$4\pi$，半径は4なので，対応する中心角は$$\frac{4\pi }{4}=\pi$$である。
巻きつける角速度は毎秒${30}^{\circ }=\frac{\pi }{6}$ラジアンであるから，$t$秒後に巻きついた弧の中心角は$\frac{\pi }{6}t$，残りの弧$CP$の中心角は$$\pi -\frac{\pi }{6}t=\frac{\pi }{6}(6-t)$$である。したがって$$CP=4\cdot \frac{\pi }{6}(6-t)=\frac{2\pi }{3}(6-t)$$である。

また，接点$C$は中心$A$のまわりを角速度$\frac{\pi }{6}$で動く。$t=0$で$C=B$だから，$\overrightarrow{AC}$の偏角を$\theta$とすると$$\theta =-\frac{5\pi }{12}+\frac{\pi }{6}t=\frac{\pi }{12}(2t-5)$$である。よって$$\overrightarrow{AC}=4(\cos \theta ,\sin \theta ),\theta =\frac{\pi }{12}(2t-5)\mathrm{.}$$さらに，点$P$の速さは，巻き取りによる接線方向の移動であるから$$\mid \frac{dP}{dt}\mid =\frac{\pi }{6}CP$$となる。したがって$$\mid \frac{dP}{dt}\mid =\frac{\pi }{6}\cdot \frac{2\pi }{3}(6-t)=\frac{{\pi }^2}{9}(6-t)$$である。