上智大学 2012年度 一般選抜理工学部数学 第3問

(1)
底面 $ABC$ は一辺1の正三角形であるから，その内接円の半径は$$r=\frac{\sqrt{3}}{6}$$である。

(2)
正四面体の底面 $ABC$ の重心を $G$ とすると，$OG$ は底面に垂直である。正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので，重心から頂点までの距離はその $\frac{2}{3}$ 倍より $\frac{\sqrt{3}}{3}$ である。よって三平方の定理から，$\mathrm{△}OGA$ において
$O{A}^2=O{G}^2+G{A}^2$
より$$1=O{G}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$$となる。したがって
$O{G}^2=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
であり，正四面体の高さは
$\frac{\sqrt{6}}{3}$
である。

(3)
底面を $z=0$ 平面に，円柱 $T$ の軸を $z$ 軸にとる。例えば$$O=(0,0,\frac{\sqrt{6}}{3}),A=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},0),B=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{6},0),C=(0,\frac{\sqrt{3}}{3},0)$$とおくと，$AB$ の中点を $M$ として$$M=(0,-\frac{\sqrt{3}}{6},0)$$であり，$$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。

$P$ を $OM$ 上にとり $x=OP$ とすると，$P$ を通る底面に平行な平面で切った側面 $OAB$ の切り口 $L$ は $AB$ に平行な線分で，その長さは相似より
$\frac{2x}{\sqrt{3}}$
である。これが円柱 $T$ にすべて含まれる条件は，端点が軸からの距離 $r$ 以下であることだから，$$\frac{2x}{\sqrt{3}}\le 2\sqrt{r^2-{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2}$$に等しい。$$r=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ を代入して整理すると$$x\le \frac{\sqrt{3}}{4}$$となる。したがって$$x_1=\frac{\sqrt{3}}{4}$$である。

次に $$x_1\le x\le \frac{\sqrt{3}}{2}$$ のとき，$L$ と $T$ の共通部分の長さは
$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{4}-x^2}$
である。

側面 $OAB$ 上で $T$ に含まれる部分の面積は$${\int }_0^{\sqrt{3}\mathrm{/}4}\frac{2x}{\sqrt{3}}dx+{\int }_{\sqrt{3}\mathrm{/}4}^{\sqrt{3}\mathrm{/}2}\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3}{4}-x^2}dx$$である。計算すると
$\frac{\pi }{12}$
となる。3つの側面は合同なので，側面全体での面積は
$\frac{\pi }{4}$
である。

また，底面 $ABC$ で $T$ に含まれる部分は半径 $$r=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ の円であり，その面積は$$\pi r^2=\frac{\pi }{12}$$である。したがって，正四面体 $OABC$ の表面で $T$ に含まれる部分の面積は$$\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}$$である。