上智大学 2015年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第1問

(1) 共有点の $x$ 座標は
$F(x)=4x^3-9x+1=k$ の解である。$F^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-9$ なので，
極大点は $x=-\sqrt{3}\mathrm{/}2$，極小点は $x=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ である。
端点と極値での値は$$F(-1)=6,F(-\sqrt{3}\mathrm{/}2)=1+3\sqrt{3},F(\sqrt{3}\mathrm{/}2)=1-3\sqrt{3},F(\sqrt{3})=1+3\sqrt{3}\mathrm{.}$$したがって異なる2交点をもつ必要十分条件は
$k=1+3\sqrt{3}$，または $1-3\sqrt{3}<k<6$ である。

(2) 真数条件は $x>0$。対数の性質から$$9^{{\log }_{3}x}=x^2,2^{{\log }_{2}x+2}=4x$$ なので，
不等式は $x^2-12x+27=(x-3)(x-9)>0$ となる。
よって $0<x<3$，または $9<x$。

(3) 各交差点に最短路の本数を書き込むと，$A$ から
$C$ まで9通り，$C$ から $B$ まで6通りである。
したがって (i) は $9\cdot 6=54$ 通り。(ii) は道路網全体で
同じ加法を続けると107通りとなる。