上智大学 2022年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第3問

(1)

順に計算すると

$z_2=(1+i)z_1-i=-i$

より

$z_2=0-1i$

である。

次に

$z_3=(1+i)z_2-i=(1+i)(-i)-i=1-2i$

だから

$z_3=1-2i$

である。

さらに

$z_4=(1+i)z_3-i=(1+i)(1-2i)-i=3-2i$

より

$z_4=3-2i$

である。

(2)

$1+i$ の絶対値は

$\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

であり，偏角は $\pi \mathrm{/}4$ である。したがって

$1+i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$

となる。
よって$$r=\sqrt{2},\theta =\frac{1}{4}\pi$$である。

(3)

不動点 $p$ を求めると

$p=(1+i)p-i$
を満たすから

$-ip=-i$
より

$p=1$
である。

そこで $w_n=z_n-1$ とおくと

$w_{n+1}=(1+i)w_n$

となり，$w_1=-1$ だから

$w_n=-(1+i{)}^{n-1}$

である。したがって

$z_n=1-(1+i{)}^{n-1}$

と表される。

このとき，回転拡大の中心は $1$ であるから，すべての $\mathrm{△}P{A}_n{A}_{n+1}$ が相似となる点 $P$ は複素数 $1+0i$ に対応する。

(4)

一般式 $z_n=1-(1+i{)}^{n-1}$ を用いる。$\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$ なので

$\mathrm{\mid }(1+i{)}^{n-1}\mathrm{\mid }=2^{\frac{n-1}{2}}$

である。
実際に

$z_{21}=1-(1+i{)}^{20}=1-(-1024)=1025$

だから

$\mathrm{\mid }{z}_{21}\mathrm{\mid }=1025>1000$

である。一方，$n\le 20$ では $\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\le 1000$ であるから，最小の $n$ は

$21$

である。

(5)

$A_{2022+k}$ が実軸上にあることは，$z_{2022+k}$ が実数であることと同値である。
一般式より

$z_n=1-2^{\frac{n-1}{2}}(\cos \frac{(n-1)\pi }{4}+i\sin \frac{(n-1)\pi }{4})$

であるから，虚部が 0 となるには

$\sin \frac{(n-1)\pi }{4}=0$

すなわち

$n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$

であればよい。$2022\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ なので，$2022+k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ となる最小の正の整数は

$k=3$

である。