上智大学 2023年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第4問

(1) 正の定数 $r$ に対し，実数 $x, y$ の条件 $p : ∣ x + y ∣ ≦ 3 かつ ∣ x - y ∣ ≦ 3, q : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} ≦ r^{2}$ を考える。 $「pならばq」$ が真となる $r$ の最小値と， $「qならばp」$ が真となる $r$ の最大値を求めよ。

(2) $A = {n ∣ n は 3 で割ると 2 余る自然数}$ ， $B = {n ∣ n は 5 で割ると 3 余る自然数}$ とする。 $A \cap B$ の要素を小さい順に並べた数列の第 $k$ 項と， $A \cup B$ の要素を小さい順に並べた数列の第100項を求めよ。

(3) 定数 $a$ に対し，直線 $y = 2 a x + 1 / 4$ と放物線 $y = x^{2}$ の2交点を $P_{1}, P_{2}$ とする。 $0 ≦ a ≦ 1$ のとき，線分 $P_{1} P_{2}$ が通過する部分の面積を求めよ。

難易度7/ 10計算量7/ 10目安34分

論証・証明、整数、図形と方程式、積分　必要十分条件、合同式、包除原理、軌跡、面積計算

方針

(1) $p$ の領域は頂点 $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ の正方形である。外接・内接の距離を調べる。(2) は連立合同式と包除原理。(3) は各 $a$ の弦を直線族として捉え，端の直線・放物線で囲まれる掃引領域を積分する。

解答

(1) $p$ の領域で $(1, 1)$ から最も遠い頂点は $(- 3, 0)$ または $(0, - 3)$ で，距離は $\sqrt{17}$ 。よって前者の最小値は $\sqrt{17}$ である。中心 $(1, 1)$ から正方形の辺 $x + y = 3$ までの距離は $1 / \sqrt{2}$ で，これが最小だから後者の最大値は $\sqrt{2} / 2$ である。

(2) $n \equiv 2 (m o d 3), n \equiv 3 (m o d 5)$ より $n \equiv 8 (m o d 15)$ 。したがって $A \cap B$ の第 $k$ 項は $15 k - 7$ である。200以下では $∣ A ∣ = 67, ∣ B ∣ = 40, ∣ A \cap B ∣ = 13$ なので， $∣ A \cup B ∣ = 94$ 。続く要素は $200, 203, 206, 208, 209, 212, 213$ であり，第100項は213である。

(3) 交点の $x$ 座標は $a \pm \sqrt{a^{2} + 1 / 4}$ である。直線族はすべて $(0, 1 / 4)$ を通り， $a$ の増加とともに傾きが0から2へ変わる。端点の軌跡である放物線と端の2直線で囲まれる部分を区間ごとに積分すると $\int_{- 1 / 2}^{(2 - \sqrt{5}) / 2} (\frac{1}{4} - x^{2}) d x + \frac{1}{2} (\frac{2 - \sqrt{5}}{2}) (\frac{1}{4} - \frac{9 - 4 \sqrt{5}}{4}) + \frac{1}{4} + \int_{1 / 2}^{(2 + \sqrt{5}) / 2} (2 x + \frac{1}{4} - x^{2}) d x = \frac{11}{6} .$

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出典: 上智大学 2023年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2023年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第4問

方針

解答

上智大学 2023年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第4問