上智大学 2025年度学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学第3問

(1) 次の条件が必要条件，十分条件，必要十分条件，いずれでもない，のどれかを答えよ。
(i) $∣ a ∣ + ∣ b ∣ < 3$ は $a^{2} + b^{2} < 4$ であるための何条件か。
(ii) $a + b$ が有理数であることは， $a^{2} + b^{2}$ が有理数であるための何条件か。
(iii) $∣ a - b ∣ < 2$ は $\log_{2} ∣ x - a ∣ + \log_{2} ∣ x - b ∣ = 1$ が異なる2実数解をもつための何条件か。

(2) $A_{k} = (\cos (2 k π / n), \sin (2 k π / n), 2 k / n)$ とし， $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} ∣ A_{k - 1} A_{k} ∣$ とする。 $S_{2}, S_{3}, S_{6}$ を求めよ。

(3) 1000未満の自然数で，12で割ると5余り，29で割ると8余るものの最小値と最大値を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安22分

論証・証明、指数・対数、図形と方程式、整数　反例構成、必要十分条件、三角比の利用、合同式

方針

(1) は一方向の証明と反例を組み合わせる。(iii) は絶対値を外して積が $2$ または $- 2$ となる2次方程式を調べる。(2) は1辺の長さを求める。(3) は合同式を解く。

解答

(1) (i) $a^{2} + b^{2} < 4$ なら $∣ a ∣ + ∣ b ∣ < 2 \sqrt{2} < 3$ だが逆は不成立なので必要条件。(ii) $a = \sqrt[4]{2}, b = - \sqrt[4]{2}$ と $a = \sqrt{2}, b = 0$ が両方向の反例となるので，必要でも十分でもない。(iii) 方程式は $∣ (x - a) (x - b) ∣ = 2$ 。常に2解をもつ枝に加え， $(x - a) (x - b) = - 2$ は $∣ a - b ∣ \geq 2 \sqrt{2}$ で解を増やす。したがって真の条件は $∣ a - b ∣ < 2 \sqrt{2}$ であり，提示条件は十分だが必要でない。

(2) 各線分の長さは $2 \sqrt{\sin^{2} (π / n) + 1 / n^{2}}$ 。よって $S_{n} = 2 n \sqrt{\sin^{2} (π / n) + 1 / n^{2}}$ であり， $S_{2} = 2 \sqrt{5}, S_{3} = \sqrt{31}, S_{6} = 2 \sqrt{10}$ 。

(3) $x = 5 + 12 k$ とすると $12 k \equiv 3 (m o d 29)$ 。 $12^{- 1} \equiv 17 (m o d 29)$ より $k \equiv 22 (m o d 29)$ ，したがって $x = 269 + 348 t$ 。1000未満の自然数は $269, 617, 965$ なので，最小269，最大965である。

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出典: 上智大学 2025年度経済学部共通数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2025年度 学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学 第3問

方針

解答

上智大学 2025年度学部学科試験・共通テスト併用方式経済学部共通数学第3問