上智大学 2022年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM）第4問

(1) 実数列 ${a_{n}}$ に関する条件 $(P) 「 n ≧ N ならば a_{n} ≦ 4 」が成り立つ自然数 N が存在する$ を考える。次の条件から答えよ。

$(a)$ $n > N$ ならば $a_{n} ≦ 4$ となる自然数 $N$ が存在する。
$(b)$ $n < N$ ならば $a_{n} ≦ 4$ となる自然数 $N$ が存在する。
$(c)$ $n ≧ N$ ならば $a_{n} > 4$ となる自然数 $N$ が存在する。
$(d)$ $a_{n} > 4$ となる自然数 $n$ が無限個存在する。
$(e)$ $a_{n} ≦ 4$ となる自然数 $n$ が無限個存在する。
$(f)$ $a_{n} > 4$ となる自然数 $n$ は存在しても有限個である。
$(g)$ $a_{n} ≦ 4$ となる自然数 $n$ は存在しても有限個である。

(i) $P$ の必要十分条件，(ii) 必要条件だが十分条件ではないもの，(iii) $P$ の否定をそれぞれ選べ。

(2) $t > 0$ とし，直線 $ℓ : y = - x + t$ と領域 $B : x^{2} + (y - 2)^{2} ≦ \frac{t^{2}}{4}$ を考える。 $B$ と $ℓ$ が2点以上で交わるとき，交わりとして得られる線分の長さが最大となる $t$ と，その最大値を求めよ。

(3) 正の数 $x, y$ が $x ≧ 1, y ≧ 1, x^{5} y^{4} ≧ 100, x^{2} y^{9} ≧ 100$ を満たすとき， $z = x y$ を最小にする組を $(a, b)$ とする。 $\log_{10} a, \log_{10} b$ を求めよ。

難易度7/ 10計算量6/ 10目安32分

論証・証明、図形と方程式、指数・対数　必要十分条件、座標設定、置換、図形的解釈

方針

(1) は $P$ を「 $a_{n} > 4$ となる項が有限個」と言い換える。(2) は円の中心から直線までの距離を使って弦長を $t$ の式にする。(3) は $X = \log_{10} x, Y = \log_{10} y$ とおき，半平面の共通部分で $X + Y$ を最小化する。

解答

(1) $P$ は $(a)$ ， $(f)$ と同値である。 $(e)$ は必要だが十分ではない。 $P$ の否定は「どの $N$ より後にも $a_{n} > 4$ となる項がある」ことであり， $(d)$ と同値である。

(2) 円の中心 $(0, 2)$ と直線の距離は $∣ 2 - t ∣ / \sqrt{2}$ ，半径は $t / 2$ である。弦長 $L$ は $L = 2 \sqrt{{(\frac{t}{2})}^{2} - {(\frac{∣ 2 - t ∣}{\sqrt{2}})}^{2}} = \sqrt{8 - (t - 4)^{2}} .$ よって $t = 4$ のとき最大値 $2 \sqrt{2}$ をとる。

(3) $X = \log_{10} x, Y = \log_{10} y$ とおくと，条件は $X, Y ≧ 0, 5 X + 4 Y ≧ 2, 2 X + 9 Y ≧ 2$ となる。 $X + Y$ の等高線を原点側から動かすと2直線の交点で最小となる。連立して $X = 10 / 37, Y = 6 / 37$ を得る。したがって $\log_{10} a = 10 / 37, \log_{10} b = 6 / 37$ である。

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出典: 上智大学 2022年度 TEAP1数学（AM）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2022年度 TEAPスコア利用方式TEAP1数学（AM） 第4問

方針

解答

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