上智大学 2022年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

(1)

(i) まず各命題を調べる。

$p\Rightarrow q$ は偽。たとえば $x=2$, $y=\sqrt{2}\mathrm{/}2$ とすると $xy=\sqrt{2}$ は無理数だが，$x,y$ はともに無理数ではない。

$p\Rightarrow r$ は真。$xy$ が無理数なら，$x,y$ がともに有理数であることはないので，少なくとも一方は無理数である。

$q\Rightarrow p$ は偽。たとえば $x=\sqrt{2}$, $y=\sqrt{2}$ では $q$ は真だが，$xy=2$ は有理数である。

$q\Rightarrow r$ は真。$x,y$ がともに無理数なら，少なくとも一方が無理数であることは明らかである。

$r\Rightarrow p$ は偽。たとえば $x=\sqrt{2}$, $y=0$ では $r$ は真だが，$xy=0$ は有理数である。

$r\Rightarrow q$ は偽。たとえば $x=\sqrt{2}$, $y=1$ では $r$ は真だが，$q$ は偽である。

したがって真なのは (b)，(d) である。

(ii) $p\Rightarrow q$ の反例は，$p$ が真で $q$ が偽であること，すなわち

$xy$ が無理数であり，かつ $x,y$ がともに無理数ではない

ことである。後者は「$x$ が有理数または $y$ が有理数」と同値なので，必要十分条件は (e) である。

(2)

$(1+x+x^2{)}^{10}$ で $x^{16}$ を作るには，10個の因子から 1，$x$，$x^2$ をそれぞれ $a,b,c$ 個選ぶとして

$a+b+c=10,b+2c=16$
を満たせばよい。
これを解くと$$(a,b,c)=(0,4,6),(1,2,7),(2,0,8)$$の3通りである。

各場合の係数はそれぞれ

${\displaystyle \frac{10!}{0!4!6!}}=210$,
${\displaystyle \frac{10!}{1!2!7!}}=360$,
${\displaystyle \frac{10!}{2!0!8!}}=45$

であるから，求める係数は

$210+360+45=615$

である。

(3)

部分積分を用いる。$u=x$, $dv=\sin 2xdx$ とすると，$du=dx$, $v=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos 2x$ だから

${\displaystyle \int x\sin 2xdx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}$

である。したがって

$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }x\sin 2xdx}& {\displaystyle ={[-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x]}_0^{\frac{2}{3}\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{3}\cos \frac{4\pi }{3}+\frac{1}{4}\sin \frac{4\pi }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{\pi }{3}(-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{3}}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}\mathrm{.}}\end{array}$

よって答えは ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$ である。