上智大学 2024年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第3問

(1)

半径 $P_{i}O$ と球の進行方向のなす角が $\pi \mathrm{/}8$ なので，接線となす角は$$\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}$$である。円では，接線と弦のなす角はその弦に対する円周角に等しいから，隣り合う打点の中心角は$$2\cdot \frac{3\pi }{8}=\frac{3\pi }{4}$$ずつ進む。

${\vec{p}}_1$ を x 軸正方向の単位ベクトルとみると，$${\vec{p}}_1=(1,0),{\vec{p}}_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),$$$${\vec{p}}_3=(0,-1),{\vec{p}}_4=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$$となる。$${\vec{p}}_3=a{\vec{p}}_1+b{\vec{p}}_2$$ とおくと，成分比較より$$a-\frac{\sqrt{2}}{2}b=0,\frac{\sqrt{2}}{2}b=-1$$.
したがって
$b=-\sqrt{2},a=-1$.
ゆえに$${\vec{p}}_3=-{\vec{p}}_1-\sqrt{2}{\vec{p}}_2$$.
同様に $${\vec{p}}_4=a{\vec{p}}_1+b{\vec{p}}_2$$ とおくと$$a-\frac{\sqrt{2}}{2}b=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}b=\frac{\sqrt{2}}{2}$$より
$b=1,a=\sqrt{2}$.
したがって$${\vec{p}}_4=\sqrt{2}{\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2$$.

(2)

打点は毎回 $\frac{3\pi }{4}$ ずつ回転するので，$P_i$ の偏角は
$0,\frac{3\pi }{4},\frac{6\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$
と進む。$P_i=P_1$ となるには，回転角が $2\pi$ の整数倍になればよい。最小の正の整数は$$8\cdot \frac{3\pi }{4}=6\pi$$が $2\pi$ の整数倍となる場合であるから，
$i=9$
である。

(3) $$P_1=(1,0),P_2=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),P_3=(0,-1),P_4=(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$$である。

まず直線 $P_1{P}_2$ の傾きは$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-0}{-\frac{\sqrt{2}}{2}-1}=1-\sqrt{2}$$だから$$P_1{P}_2:y=(1-\sqrt{2})(x-1)$$.
また直線 $P_3{P}_4$ の傾きは$$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}+1$$より$$P_3{P}_4:y=(\sqrt{2}+1)x-1$$.
これらの交点を $A$ とすると，$$(1-\sqrt{2})(x-1)=(\sqrt{2}+1)x-1$$より$$x=\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$.
したがって$$A=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}-1}{2})$$.$$\overrightarrow{OA}=a{\vec{p}}_1+b{\vec{p}}_2$$ とおくと，成分比較より$$a-\frac{\sqrt{2}}{2}b=\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}b=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\mathrm{.}$$これから$$b=1-\frac{\sqrt{2}}{2},a=\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
よって$$\overrightarrow{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\vec{p}}_1+(1-\frac{\sqrt{2}}{2}){\vec{p}}_2\mathrm{.}$$次に $$P_6=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),P_7=(0,1)$$ である。直線 $P_6{P}_7$ の傾きは
$-(\sqrt{2}+1)$
だから$$P_6{P}_7:y=-(\sqrt{2}+1)x+1$$.
これと $P_1{P}_2$ の交点を $B$ とすると$$(1-\sqrt{2})(x-1)=-(\sqrt{2}+1)x+1$$より$$x=1-\frac{\sqrt{2}}{2},y=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
したがって$$B=(1-\frac{\sqrt{2}}{2},1-\frac{\sqrt{2}}{2})$$.
よって $$\overrightarrow{OB}=a{\vec{p}}_1+b{\vec{p}}_2$$ とおくと$$a-\frac{\sqrt{2}}{2}b=1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}b=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$これから$$b=\sqrt{2}-1,a=2-\sqrt{2}$$.
したがって$$\overrightarrow{OB}=(2-\sqrt{2}){\vec{p}}_1+(\sqrt{2}-1){\vec{p}}_2$$.

(4)

球の軌道は，中心角 $\frac{3\pi }{4}$ ずつ進む8本の弦で構成される。線分 $OQ$ がちょうど2回通過する領域を，これらの三角形の重なりとして整理すると，対称性から同形の部分に分けて数え上げられる。

その面積は
$2-\sqrt{2}$
である。