上智大学 2025年度理工学部数学第1問｜問題・解答・解説

上智大学 2025年度学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学第1問

次の条件によって定められる数列 ${a_{n}}$ を考える。

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} \geq 1$ であることを証明せよ。
(2) すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n}^{2} - 2$ と $a_{n + 1}^{2} - 2$ が異符号であることを証明せよ。
(3) すべての自然数 $n$ に対し， $∣ a_{n + 1}^{2} - 2 ∣ \leq \frac{1}{4} ∣ a_{n}^{2} - 2 ∣$ であることを証明せよ。
(4) 不等式 $2 - 10^{- 6} \leq a_{11}^{2} \leq 2$ が成り立つことを証明せよ。

難易度6/ 10計算量4/ 10目安18分

方針

(1) は漸化式をそのまま用いて帰納法で下から評価する。 $a_{n} \geq 1$ を仮定すると $a_{n + 1} = (a_{n} + 2) / (a_{n} + 1) \geq 1$ がすぐ出る。
(2) は $a_{n + 1}^{2} - 2$ を $a_{n}^{2} - 2$ で表す式を作る。分母を払って整理すると符号が反転する形になる。
(3) は (1) により $a_{n} + 1 \geq 2$ を使い，(2) の式の絶対値を評価する。
(4) は (2) で符号が交互に変わることと (3) の縮小率 $1 / 4$ を10回繰り返し， $(1 / 4)^{10} < 10^{- 6}$ を確認して挟み撃ちにする。

解答

(1) まず $a_{1} = 1 \geq 1$ である。 $a_{n} \geq 1$ を仮定すると， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1} \geq 1$ である。よって数学的帰納法により，すべての自然数 $n$ について $a_{n} \geq 1$ が成り立つ。

(2) 漸化式より $a_{n + 1}^{2} - 2 = {(\frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1})}^{2} - 2$ $= \frac{(a_{n} + 2)^{2} - 2 (a_{n} + 1)^{2}}{(a_{n} + 1)^{2}}$ $= \frac{a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 4 - 2 a_{n}^{2} - 4 a_{n} - 2}{(a_{n} + 1)^{2}}$ $= \frac{- a_{n}^{2} + 2}{(a_{n} + 1)^{2}} = - \frac{a_{n}^{2} - 2}{(a_{n} + 1)^{2}}$ .
分母 $(a_{n} + 1)^{2}$ は正であるから， $a_{n + 1}^{2} - 2$ は $a_{n}^{2} - 2$ と異符号である。

(3) (2) の式から $∣ a_{n + 1}^{2} - 2 ∣ = \frac{∣ a_{n}^{2} - 2 ∣}{(a_{n} + 1)^{2}}$ .
(1) より $a_{n} \geq 1$ なので $a_{n} + 1 \geq 2$ ，したがって
$(a_{n} + 1)^{2} \geq 4$
より $∣ a_{n + 1}^{2} - 2 ∣ \leq \frac{1}{4} ∣ a_{n}^{2} - 2 ∣$ .

(4) まず $a_{1}^{2} - 2 = 1 - 2 = - 1 < 0$ である。したがって (2) より， $a_{11}^{2} - 2$ も負であり，
$a_{11}^{2} \leq 2$
が従う。さらに (3) を繰り返すと $∣ a_{11}^{2} - 2 ∣ \leq {(\frac{1}{4})}^{10} ∣ a_{1}^{2} - 2 ∣ = {(\frac{1}{4})}^{10} .$ $(1 / 4)^{10} = 1 / 2^{20} = 1 / 1048576 < 10^{- 6}$ だから $∣ a_{11}^{2} - 2 ∣ < 10^{- 6}$ .
しかも $a_{11}^{2} - 2 < 0$ であるので，
$0 < 2 - a_{11}^{2} < 10^{- 6}$
すなわち
$2 - 10^{- 6} < a_{11}^{2} < 2$ .
特に求める不等式 $2 - 10^{- 6} \leq a_{11}^{2} \leq 2$ が成り立つ。

出典: 上智大学 2025年度理工系数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

上智大学 2025年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第1問

方針

解答

上智大学 2025年度学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学第1問