上智大学 2025年度 学部学科試験・共通テスト併用方式理工学部数学 第2問

(1) $f(x)=\tan x$ とすると，$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\sec }^{2}x$ だから $x=\pi \mathrm{/}4$ で $f^{\mathrm{\prime }}(\pi \mathrm{/}4)=2$ である。$${43.5}^{\circ }={45}^{\circ }-{1.5}^{\circ }$$ より，$$\epsilon ={1.5}^{\circ }=\frac{1.5\pi }{180}=\frac{\pi }{120}$$とおくと，$$\tan (\frac{\pi }{4}-\epsilon )\approx \tan \frac{\pi }{4}-2\epsilon =1-\frac{\pi }{60}\mathrm{.}$$$\pi =3.14$ を用いれば$$1-\frac{3.14}{60}=1-0.052333\dots =0.947666\dots$$したがって小数第3位を四捨五入すると $0.95$ である。

(2) まず
$x^2-6x-19\le 0$
を平方完成すると
$(x-3{)}^2\le 28$
より$$3-2\sqrt{7}\le x\le 3+2\sqrt{7}$$.
したがって$$B=[3-2\sqrt{7},3+2\sqrt{7}]$$.
一方，$$A=\{x\mid \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<a\}=(-a,a)$$ である。

(i) $A\subset B$ となるには，$(-a,a)$ のすべての要素が区間 $[3-2\sqrt{7},3+2\sqrt{7}]$ に入ればよい。左端は $3-2\sqrt{7}<0$ であり，$(-a,a)$ は 0 を含むから，必要なのは$$-a\ge 3-2\sqrt{7}\text{かつ}a\le 3+2\sqrt{7}$$である。前者は
$a\le 2\sqrt{7}-3$
と同値であり，これを満たせば後者は自動的に成り立つ。よって必要十分条件は
$a\le 2\sqrt{7}-3$.

(ii) $A\supset B$ となるには，$[3-2\sqrt{7},3+2\sqrt{7}]\subset (-a,a)$ であればよい。したがって$$-a<3-2\sqrt{7}\text{かつ}3+2\sqrt{7}<a$$.
後者が本質的で，前者はそれより弱い。よって必要十分条件は
$a>3+2\sqrt{7}$.

(3) 3つの解を $z_1,z_2,z_3$ とする。3点が1辺4の正三角形をなすので，その3点のうち1点は実軸上にあり，他の2点は共役になる。
したがって，$$z_1=1+2i,z_2=1-2\sqrt{3},z_3=1-2i$$とおける。実際，$z_2$ の実部は $z_1$ の実部より小さいので条件に合う。さらに$$z_1+z_2+z_3=(1+2i)+(1-2\sqrt{3})+(1-2i)=3-2\sqrt{3}$$であり，係数比較と一致する。
また$$(z_1-z_3)=4i,\mathrm{\mid }{z}_2-z_1{\mathrm{\mid }}^2=(2\sqrt{3}{)}^2+2^2=16$$より辺の長さは4である。

次に，$$M=\frac{z_1+z_2}{2}=1-\sqrt{3}+i,C=z_3=1-2i$$である。

(i) $C,D,M$ が同一直線上にあるとき，$$M-C=(-\sqrt{3}+3i),\mathrm{\mid }M-C\mathrm{\mid }=2\sqrt{3}$$であるから，$D$ は $C$ から $M$ の方向へ距離4だけ進んだ点である。よって$$D=C+\frac{4}{\mathrm{\mid }M-C\mathrm{\mid }}(M-C)=1-2i+\frac{2}{\sqrt{3}}(-\sqrt{3}+3i)$$$=-1+(2\sqrt{3}-2)i$.

(ii) $\mathrm{\angle }MCD=\pi \mathrm{/}4$ なら，$\arg (M-C)=2\pi \mathrm{/}3$ なので$\arg (D-C)=11\pi \mathrm{/}12$ とすればよい。したがって$$D=C+4(\cos \frac{11\pi }{12}+i\sin \frac{11\pi }{12})$$$$=1-2i+4(-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})$$$$=1-(\sqrt{6}+\sqrt{2})+(\sqrt{6}-\sqrt{2}-2)i$$.