東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $(a+b+c+d{)}^7$ を展開するとき、7回の選択のうち$$a\text{ を }p\text{ 回},b\text{ を }q\text{ 回},c\text{ を }r\text{ 回},d\text{ を }s\text{ 回}$$選ぶと、項 $a^p{b}^q{c}^r{d}^s$ が得られる。したがって、そのような選び方の数が係数である。

7個の場所のうち、まず $a$ を置く場所を $p$ 個、次に $b$ を置く場所を $q$ 個、次に $c$ を置く場所を $r$ 個選べば、残りが $d$ の場所である。よって係数は ${\displaystyle \frac{7!}{p!q!r!s!}}$ である。

(2)

(1) より、係数を最大にするには $p!q!r!s!$ を最小にすればよい。

ここで、二つの指数 $u,v$ が $u\geqq v+2$ を満たしているとする。このとき、$u$ を1減らし、$v$ を1増やしても和は変わらない。分母の該当部分は $u!v!$ から $(u-1)!(v+1)!$ に変わる。その比は $${\displaystyle \frac{(u-1)!(v+1)!}{u!v!}}={\displaystyle \frac{v+1}{u}}<1$$ である。したがって、二つの指数の差が2以上ある状態では、係数はまだ大きくできる。

よって最大になるとき、$p,q,r,s$ のどの二つの差も1以下である。4個の負でない整数の和が7なので、その形は $2,2,2,1$ でなければならない。

したがって $(p,q,r,s)$ は $(2,2,2,1)$ の順列である。このとき係数は $${\displaystyle \frac{7!}{2!2!2!1!}}={\displaystyle \frac{5040}{8}}=630.$$ よって最大値は $630$ であり、そのときの $(p,q,r,s)$ は $(2,2,2,1)$ の順列である。

係数は指数の順序ではなく多重集合だけで決まる。7の4個以下の非負整数への分割をすべて並べ、各型の階乗積を比較する。有限個の候補を漏れなく調べる別経路で最大値を確定する。

(1)
7個の因子から $a,b,c,d$ をそれぞれ $p,q,r,s$ 回選ぶ並べ方の数だから、係数は$${\displaystyle \frac{7!}{p!q!r!s!}}$$である。

(2)
$p,q,r,s$ の順序を無視し、0を補って降順に並べる。和が7となる型と分母 $p!q!r!s!$ は次のとおりである。$$\begin{array}{cccc}\text{型}& p!q!r!s!& \text{型}& p!q!r!s!\\ (7,0,0,0)& 5040& (6,1,0,0)& 720\\ (5,2,0,0)& 240& (5,1,1,0)& 120\\ (4,3,0,0)& 144& (4,2,1,0)& 48\\ (4,1,1,1)& 24& (3,3,1,0)& 36\\ (3,2,2,0)& 24& (3,2,1,1)& 12\\ (2,2,2,1)& 8& & \end{array}$$最小の分母は8であり、その型は $(2,2,2,1)$ だけである。したがって最大係数は$${\displaystyle \frac{7!}{2!2!2!1!}}=630$$で、$(p,q,r,s)$ は $(2,2,2,1)$ の順列である。