東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

各 $x$ における上端は $y=2-x^2$、下端は $a$ と $1-x^2$ の大きい方である。

領域が存在する条件は$$2-x^2\geqq a,\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{2-a}$$である。また $1-x^2\geqq a$ となるのは $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{1-a}$$ の範囲である。この中央部分では縦の長さは1、外側では $2-a-x^2$ となる。

領域は $y$ 軸について対称なので、面積 $S$ は$$S=2\sqrt{1-a}+2{\int }_{\sqrt{1-a}}^{\sqrt{2-a}}(2-a-x^2)dx\mathrm{.}$$ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\sqrt{1-a}}^{\sqrt{2-a}}(2-a-x^2)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}(2-a{)}^{3\mathrm{/}2}-(2-a)\sqrt{1-a}+{\displaystyle \frac{1}{3}}(1-a{)}^{3\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}(2-a{)}^{3\mathrm{/}2}-\sqrt{1-a}-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-a{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{4}{3}}\{(2-a{)}^{3\mathrm{/}2}-(1-a{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}$$

高さ y を固定して横幅を求める。a から1まででは2本の放物線が左右の内外境界を与え、1から2まででは上側放物線だけが境界になる。2区間の積分を足す。

高さ $y$ を固定する。条件$$1-x^2\leqq y\leqq 2-x^2$$は$$1-y\leqq x^2\leqq 2-y$$と書ける。

$a\leqq y\leqq 1$ では左右を合わせた横幅は$$2(\sqrt{2-y}-\sqrt{1-y})$$である。$1\leqq y\leqq 2$ では下側の制限は自動的に満たされ、横幅は $2\sqrt{2-y}$ である。したがって面積 $S$ は$$S=2{\int }_a^1(\sqrt{2-y}-\sqrt{1-y})dy+2{\int }_1^2\sqrt{2-y}dy\mathrm{.}$$各項を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\{(2-a{)}^{3\mathrm{/}2}-1-(1-a{)}^{3\mathrm{/}2}\}+{\displaystyle \frac{4}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}\{(2-a{)}^{3\mathrm{/}2}-(1-a{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}}\end{array}$$