東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 場合の数文系数学 第4問(a)

(1)
袋Aに入る白玉の個数は0から3まで、赤玉の個数は0から4まで選べるので、空袋を許せば $4\cdot 5=20$ 通りである。全部をA、または全部をBに入れる2通りを除くから $18$ 通りである。

(2)
2つのタンスを一度区別すると、12段のうち白玉を入れる3段、赤玉を入れる4段を選ぶので ${}_{12}{\mathrm{C}}_3{}_9{\mathrm{C}}_4$ 通りである。玉の総数は7個で奇数だから、2つのタンスを入れ替えても同じ配置のままになることはない。よって $${\displaystyle \frac{1}{2}}{}_{12}{\mathrm{C}}_3{}_9{\mathrm{C}}_4=13860$$ 通りである。

(2) で2で割れる理由を補足する。二つのタンスを区別した状態で数えると，配置は ${}_{12}{\mathrm{C}}_3{}_9{\mathrm{C}}_4$ 通りである。ここで二つのタンスを入れ替えて同じと見るが，もし入れ替えて同じ配置になるなら，二つのタンスに入っている玉の総数が等しくなければならない。しかし玉は合計7個で奇数なので，二つのタンスに同じ個数ずつ入ることはない。したがってすべての配置が2個ずつ組になる。よって $${\displaystyle \frac{1}{2}}{}_{12}{\mathrm{C}}_3{}_9{\mathrm{C}}_4=13860$$ である。

(1) は袋Aに入る色別個数で数える。(2)は先に7個の使用段を選び、そのうち3段を白とする。タンス交換に固定される配置がないことを確認して2で割る。

(1)

袋 $A$ に入る白玉数は4通り、赤玉数は5通りなので、空袋を許せば$$4\cdot 5=20$$通りである。全部を $A$ または全部を $B$ に入れる2通りを除き、$$18$$通りである。

(2)

二つのタンスをいったん区別する。12個の引き出しから玉を入れる7段を選び、その7段から白玉を入れる3段を選べば、残り4段は赤玉である。よって$${}_{12}{\mathrm{C}}_7{}_7{\mathrm{C}}_3$$通りである。

タンスを交換して同じ配置に戻るなら、両方のタンスに入る玉数が等しくなければならない。しかし玉は7個で奇数だから固定配置はない。したがってすべてが2個ずつの組になり、$${\displaystyle \frac{1}{2}}{}_{12}{\mathrm{C}}_7{}_7{\mathrm{C}}_3=13860$$通りである。