東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$a,b,c$ は負でない整数で $a+b+c=n$ を満たす。これは、$n$ 個の同じものを3つの箱に分ける方法の数であり、区切り2本を含めた $n+2$ 個の位置から区切りの位置を選べばよい。したがって $$h_n={}_{n+2}{\mathrm{C}}_2={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$$ である。

よって $${\displaystyle \frac{1}{h_n}}={\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}$$ であり、部分分数分解すると $${\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}=2({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})$$ である。したがって、$N$ までの部分和は$$\sum _{n=0}^N{\displaystyle \frac{1}{h_n}}=2\sum _{n=0}^N({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})$$である。右辺は途中の項が打ち消し合って $2(1-{\displaystyle \frac{1}{N+2}})$ となる。よって $N\to \mathrm{\infty }$ として$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{h_n}}=2$$である。

stars and bars の公式を使わず、$a$ を固定したときの $(b,c)$ の個数を足す。得られた三角数の逆数を部分分数分解して望遠和にする。

$a=0,1,\dots ,n$ を固定する。すると$$b+c=n-a$$を満たす負でない整数の組は$$n-a+1$$個である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h_n}& {\displaystyle =\sum _{a=0}^n(n-a+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+2+\cdots +(n+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$${\displaystyle \frac{1}{h_n}}={\displaystyle \frac{2}{(n+1)(n+2)}}=2({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})\mathrm{.}$$$N$ までの部分和は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=0}^N{\displaystyle \frac{1}{h_n}}}& {\displaystyle =2\sum _{n=0}^N({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1-{\displaystyle \frac{1}{N+2}})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{h_n}}=2.$$