東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$\left[{\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}\right]=1$$ であることは $$1\leqq {\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}<2$$ と同値であり，したがって $$10\leqq {\displaystyle \frac{m}{n}}<100$$ である。いま $1\leqq n<m\leqq 20$ なので，実際には $10n\leqq m\leqq 20$ を満たす組を探せばよい。$n=1$ のときは $m=10,11,\dots ,20$ が可能である。$n=2$ のときは $m=20$ のみが可能である。$n\geqq 3$ では $10n>20$ となり不可能である。よって求める組は $$(n,m)=(1,10),(1,11),\dots ,(1,20),(2,20)$$ である。

(2) $1<m\mathrm{/}n\leqq 20$ であるから，$[{\log }_{10}(m\mathrm{/}n)]$ は0または1である。

まず $$0\leqq {\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}<1$$ すなわち $1<m\mathrm{/}n<10$ の場合を考える。このとき条件は $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}<{\log }_{10}2$$ であるから $$1<{\displaystyle \frac{m}{n}}<2$$ となる。この組数を数える。$m<2n$，$m>n$，$m\leqq 20$ であるから，$1\leqq n\leqq 10$ では $n-1$ 通り，$11\leqq n\leqq 20$ では $20-n$ 通りである。したがって$$\sum _{n=1}^{10}(n-1)+\sum _{n=11}^{20}(20-n)=45+45=90$$通りである。

次に $$1\leqq {\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}<2$$ の場合，つまり $10\leqq m\mathrm{/}n<100$ の場合を考える。このとき条件は $${\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}<1+{\log }_{10}2={\log }_{10}20$$ であるから $$10\leqq {\displaystyle \frac{m}{n}}<20$$ となる。$n=1$ では $m=10,11,\dots ,19$ の10通り，$n=2$ では $m=20$ の1通りであり，合計11通りである。$(1,20)$ は $m\mathrm{/}n=20$ なので，ここでは除かれる。

よって条件を満たす組は $90+11=101$ 通りである。全体の取り出し方は $${}_{20}{\mathrm{C}}_2=190$$ 通りで等確率だから，求める確率は ${\displaystyle \frac{101}{190}}$ である。

番号対 $(n,m)$ の数え上げ

小さい番号 $n$ を固定し、条件を満たす大きい番号 $m$ の個数を表にして数える。比が2未満の部分と10以上20未満の部分を、端点の含み方まで分けて集計する。

(1) $$\left[{\log }_{10}{\displaystyle \frac{m}{n}}\right]=1⟺10\leqq {\displaystyle \frac{m}{n}}<100.$$$m\leqq 20$ より $n=1,2$ だけを調べればよい。$n=1$ では
$m=10,11,\dots ,20$、$n=2$ では $m=20$ である。

(2)
条件を比へ戻すと、可能なのは$$1<{\displaystyle \frac{m}{n}}<2\text{または}10\leqq {\displaystyle \frac{m}{n}}<20$$である。前者について $n$ を固定した個数は$$\begin{array}{ccc}n& m\text{ の範囲}& \text{個数}\\ 1\leqq n\leqq 10& n+1\leqq m\leqq 2n-1& n-1\\ 11\leqq n\leqq 20& n+1\leqq m\leqq 20& 20-n\end{array}$$だから$$\sum _{n=1}^{10}(n-1)+\sum _{n=11}^{20}(20-n)=45+45=90.$$後者は $n=1,m=10,\dots ,19$ の10組と
$n=2,m=20$ の1組で、合計11組である。したがって有利な組は
$101$ 組、全体は$${}_{20}{\mathrm{C}}_2=190$$組なので、求める確率は$${\displaystyle \frac{101}{190}}$$である。