Evolton
方針
(1) は6枚を赤・黄・緑に何枚ずつするかを非負整数解として数える。(2)は6面を区別した配色をまず数え、立方体の24個の回転で同じになるものをまとめる。各回転で動かない配色を、面の入れ替わり方ごとに数え、最後に24で割る。90度回転や120度回転では同じ色が4枚または3枚必要になるため固定配色がないことを明示する。
解答
(1)
赤、黄、緑の紙をそれぞれ 枚使うとする。6枚を選ぶので である。この非負整数解の個数は である。
(2)
まず立方体の6面を区別して考える。赤・黄・緑を2面ずつ貼る方法は 通りである。ここから回転で同じになるものを同一視する。
立方体の回転は24個ある。それぞれの回転で、色の配置が変わらないものを数える。
恒等回転では、すべての配色が動かないので90通りである。
向かい合う面の中心を通る軸の180度回転は3個ある。このとき面の動きは、固定される2面と、入れ替わる2組の面に分かれる。入れ替わる2組はそれぞれ同じ色でなければならない。固定される2面も、残った1色を1枚ずつ置く必要があるので、色の決め方は 通りである。
向かい合う辺の中点を通る軸の180度回転は6個ある。このとき6面は3組の入れ替わる面に分かれる。各組は同じ色でなければならず、3色を3組に割り当てるので 通りである。
90度回転では4つの面が一巡するため、固定されるには同じ色が4枚必要になるが、各色は2枚ずつしかない。したがって固定配色はない。頂点を通る軸の120度回転でも3面ずつの組ができ、同じ色が3枚必要になるので固定配色はない。
よって固定される配色の総数は である。同じ配色は24個の回転で数え直されるので、求める個数は である。
問題の指示に従い、6通りの代表を展開図で示す。文字は
赤、
黄、
緑を表す。
\begingroup
\newcommand{\evoltoncubeface}[2]{%
\if#2R
\node[face,fill=red!14,text=red!70!black] at (#1) {R};
\else\if#2Y
\node[face,fill=yellow!24,text=orange!70!black] at (#1) {Y};
\else
\node[face,fill=green!16,text=green!45!black] at (#1) {G};
\fi\fi}
\newcommand{\evoltoncubepattern}[6]{%
}\endgroup
別解
解法2
方針
(1) は非負整数解を数える。(2)は向かい合う面に同色が置かれる色の種類数で6配色を分類し、展開図の代表を示す。
解答
(1) の非負整数解の個数なので通りである。
(2)
同色の2面が向かい合う色の数は のいずれかである。
- 3色とも向かい合うものは1通り。
- ちょうど1色が向かい合うものは、その色の選び方により3通り。
- どの色も向かい合わないものは、鏡像関係にある2通り。
したがって合計は通りである。次の6展開図は上面、下面、前面、背面、右面、左面の順を固定した代表であり、回転では互いに一致しない。
問題の指示に従い、6通りの代表を展開図で示す。文字は
赤、
黄、
緑を表す。
\begingroup
\newcommand{\evoltoncubeface}[2]{%
\if#2R
\node[face,fill=red!14,text=red!70!black] at (#1) {R};
\else\if#2Y
\node[face,fill=yellow!24,text=orange!70!black] at (#1) {Y};
\else
\node[face,fill=green!16,text=green!45!black] at (#1) {G};
\fi\fi}
\newcommand{\evoltoncubepattern}[6]{%
}\endgroup
総評
難度6、計算量5。目安時間は22分。立方体の回転同一視を扱うため、単に と割ることはできない。回転によって動かない配色の数が変わるからである。180度回転だけが寄与し、90度回転と120度回転は色数の制限で不可能、という整理が見えれば計算は短い。答案では回転の種類と個数を明記すると説得力が出る。 設問の「略図を描いて」に対応し、6通りの代表展開図を答案へ収録した。