東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{1}{m}}$ であるから$$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}={\displaystyle \frac{2\mathrm{/}m}{1-1\mathrm{/}{m}^2}}={\displaystyle \frac{2m}{m^2-1}}$$である。
また $$\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\alpha$$ なので$$\tan \beta =\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\alpha )={\displaystyle \frac{1-\tan 2\alpha }{1+\tan 2\alpha }}$$である。これに上の式を代入して$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{2m}{m^2-1}}}{1+{\displaystyle \frac{2m}{m^2-1}}}}={\displaystyle \frac{m^2-2m-1}{m^2+2m-1}}$$となる。
一方、$\tan \beta =1\mathrm{/}n$ であるから $${\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{m^2-2m-1}{m^2+2m-1}}$$ であり、$$n={\displaystyle \frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1}}$$ である。

(2) $\beta >0$ だから $\tan \beta >0$ である。したがって (1) の分母 $m^2-2m-1$ は正でなければならない。特に整数 $m$ について $m\geqq 3$ である。
また $$n={\displaystyle \frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1}}=1+{\displaystyle \frac{4m}{m^2-2m-1}}$$ である。$n$ が整数となるには、正の整数 $m^2-2m-1$ が $4m$ を割り切る必要がある。特に $m^2-2m-1\leqq 4m$ である。すなわち $m^2-6m-1\leqq 0$ だから、$m\geqq 3$ と合わせて $m=3,4,5,6$ だけを調べればよい。

実際に計算すると$$\begin{array}{ccccc}m& 3& 4& 5& 6\\ m^2-2m-1& 2& 7& 14& 23\\ n& 7& 23\mathrm{/}7& 17\mathrm{/}7& 47\mathrm{/}23\end{array}$$である。したがって整数となるのは $m=3,n=7$ だけである。

加法定理で $\tan \beta$ を $m$ の有理式に直し、整数条件を調べる

(1) 加法定理から $n$ の式を得る。(2) $d=m^2-2m-1$ とおくと、整数条件は $d\mid 4m$ である。一方 $d\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ なので $d$ と $m$ は互いに素であり、$d\mid 4$ まで絞れる。

(1) $$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{2\mathrm{/}m}{1-1\mathrm{/}{m}^2}}={\displaystyle \frac{2m}{m^2-1}}\mathrm{.}$$$\beta =\pi \mathrm{/}4-2\alpha$ だから$${\displaystyle \frac{1}{n}}=\tan \beta ={\displaystyle \frac{1-\tan 2\alpha }{1+\tan 2\alpha }}={\displaystyle \frac{m^2-2m-1}{m^2+2m-1}}\mathrm{.}$$よって$$n={\displaystyle \frac{m^2+2m-1}{m^2-2m-1}}\mathrm{.}$$(2) $\beta >0$ より分母は正で、整数 $m$ について $m\geqq 3$ である。ここで$$d=m^2-2m-1$$とおくと$$n=1+{\displaystyle \frac{4m}{d}}\mathrm{.}$$$n$ が整数なら $d\mid 4m$ である。一方$$d\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$だから $d$ と $m$ は互いに素である。したがって $d\mid 4$ でなければならない。

$d>0$ なので $d=1,2,4$ のいずれかであり、$$(m-1{)}^2=d+2$$である。$m$ が正の整数になるのは $d=2$、$m-1=2$ の場合だけである。よって$$m=3,n=1+{\displaystyle \frac{4\cdot 3}{2}}=7$$である。