東北大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $h(x)=x\cos x$ とおく。区間 $3\pi \mathrm{/}2<x<2\pi$ では $\cos x>0$、$\sin x<0$ であるから $h^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-x\sin x>0$ である。したがって $h(x)$ はこの区間で増加する。

また $$h\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=0<2,h(2\pi )=2\pi >2$$ である。よって方程式 $x\cos x=2$ の解 $a$ は $${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<a<2\pi$$ を満たす。

次に $$\sqrt{a^2-4}\geqq {\displaystyle \frac{4}{5}}a$$ を示す。両辺は正なので、これは2乗して $$a^2-4\geqq {\displaystyle \frac{16}{25}}{a}^2$$ すなわち $9a^2\geqq 100$ と同値である。したがって $a\geqq 10\mathrm{/}3$ を示せばよい。上で得た $a>3\pi \mathrm{/}2$ と $\pi >2$ より $$a>{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}>3>{\displaystyle \frac{10}{3}}$$ とは言えないので、ここでは標準的な評価 $$\pi >{\displaystyle \frac{20}{9}}$$ を用いると $${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}>{\displaystyle \frac{10}{3}}$$ である。よって $a>10\mathrm{/}3$ となり、求める不等式が成り立つ。

(2)

2曲線の差を調べると$$\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x=\sin x-{\displaystyle \frac{x}{2}}\sin x\cos x=\sin x(1-{\displaystyle \frac{x\cos x}{2}})$$である。 $0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であり、また $x\cos x\leqq 2$ なので $\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x\geqq 0$ である。したがって$$S={\int }_0^{\pi }\{\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x\}dx$$である。

一方、$\pi \leqq x\leqq a$ では $\sin x\leqq 0$ であり、$x\cos x\leqq a\cos a=2$ だから $\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x\leqq 0$ である。よって$$T={\int }_{\pi }^a\{{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x-\sin x\}dx$$である。

ここで $$F(x)=-\cos x+{\displaystyle \frac{x\cos 2x}{8}}-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{16}}$$ とおくと $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x$$ である。したがって $$S=F(\pi )-F(0)=(1+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})-(-1)=2+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ である。

また $a\cos a=2$ で、$3\pi \mathrm{/}2<a<2\pi$ だから $$\cos a={\displaystyle \frac{2}{a}},\sin a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{a}}$$ である。よって $$\cos 2a={\displaystyle \frac{8}{a^2}}-1,\sin 2a=-{\displaystyle \frac{4\sqrt{a^2-4}}{a^2}}$$ である。これを $F(a)$ に代入すると $$F(a)=-{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{a}{8}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{4a^2}}$$ となる。したがって $$T=F(\pi )-F(a)=1+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{a}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{4a^2}}$$ である。

よって $$S-T=1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{4a^2}}$$ である。(1)より $\sqrt{a^2-4}\geqq 4a\mathrm{/}5$ だから $$S-T\geqq 1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{5a}}=1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{4}{5a}}$$ である。さらに $a<2\pi <32\mathrm{/}5$ であり、$a>3\pi \mathrm{/}2>4$ の範囲では右辺は減少するので$$1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{4}{5a}}>1-{\displaystyle \frac{32\mathrm{/}5}{8}}-{\displaystyle \frac{4}{5\cdot 4}}=1-{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=0$$より実際には正である。したがって $S-T>0$ であり、$S>T$ が示された。

2曲線の差 $D(x)$ の符号を区間ごとに確認した後、$S$ と $T$ を別々に計算せず$$S-T={\int }_0^{a}D(x)dx$$とまとめる。原始関数を $a\cos a=2$ で整理し、(1)の平方根評価と $4<a<32\mathrm{/}5$ を使って正値を示す。

(1)

$h(x)=x\cos x$ とおく。$3\pi \mathrm{/}2<x<2\pi$ では$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x-x\sin x>0.$$また $$h(3\pi \mathrm{/}2)=0<2<h(2\pi )=2\pi$$ なので、解 $a$ は一意で$${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}<a<2\pi \mathrm{.}$$$\pi >20\mathrm{/}9$ より $a>10\mathrm{/}3$ である。両辺が正であることに注意して2乗すると$$\sqrt{a^2-4}\geqq {\displaystyle \frac{4}{5}}a⟺a^2-4\geqq {\displaystyle \frac{16}{25}}{a}^2⟺a\geqq {\displaystyle \frac{10}{3}}\mathrm{.}$$よって第2の不等式も成り立つ。

(2) $$D(x)=\sin x-{\displaystyle \frac{x}{4}}\sin 2x=\sin x(1-{\displaystyle \frac{x\cos x}{2}})\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq \pi$ では $D(x)\geqq 0$、$\pi \leqq x\leqq a$ では $D(x)\leqq 0$ である。したがって$$S-T={\int }_0^{a}D(x)dx\mathrm{.}$$原始関数を$$F(x)=-\cos x+{\displaystyle \frac{x\cos 2x}{8}}-{\displaystyle \frac{\sin 2x}{16}}$$とすれば$$S-T=F(a)-F(0)=F(a)+1.$$$a\cos a=2$、かつ $\sin a<0$ より$$\cos a={\displaystyle \frac{2}{a}},\sin a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{a}}\mathrm{.}$$倍角公式を用いて整理すると$$S-T=1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4}}{4a^2}}\mathrm{.}$$(1)から$$S-T\geqq 1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{4}{5a}}\mathrm{.}$$さらに $a<2\pi <32\mathrm{/}5$、$a>3\pi \mathrm{/}2>4$ なので$$1-{\displaystyle \frac{a}{8}}-{\displaystyle \frac{4}{5a}}>1-{\displaystyle \frac{4}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}=0.$$よって $S-T>0$、すなわち $S>T$ である。