東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

曲線 $y=\cos kx$ と3直線 $$x=-\theta ,x=0,x=\theta$$ との交点は $(-\theta ,\cos k\theta ),(0,1),(\theta ,\cos k\theta )$ である。

左右の2点が $y$ 軸について対称であり、中央の点も $y$ 軸上にある。したがって、この3点を通る円の中心は $y$ 軸上にある。そこで $P=(0,Y)$ とおく。

中心から $(0,1)$ までの距離の2乗は $(1-Y{)}^2$ である。中心から $(\theta ,\cos k\theta )$ までの距離の2乗は ${\theta }^2+(\cos k\theta -Y{)}^2$ である。これらが等しいので $${\theta }^2+(\cos k\theta -Y{)}^2=(1-Y{)}^2\mathrm{.}$$ 展開して $Y$ について解くと $$2Y(\cos k\theta -1)={\theta }^2+{\cos }^{2}k\theta -1.$$ すなわち $$Y={\displaystyle \frac{{\theta }^2-{\sin }^{2}k\theta }{2(\cos k\theta -1)}}\mathrm{.}$$ ここで $t=k\theta$ とおく。すると $$\theta ={\displaystyle \frac{t}{k}}$$ であり、$\theta \to 0$ のとき $t\to 0$ である。上の式は $$Y={\displaystyle \frac{{\sin }^{2}t-{\displaystyle \frac{t^2}{k^2}}}{2(1-\cos t)}}$$ と書き直せる。さらに$$Y={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{\sin t}{t}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}}{{\displaystyle \frac{2(1-\cos t)}{t^2}}}}$$である。$$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin t}{t}}=1,\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2(1-\cos t)}{t^2}}=1$$を用いると $$\underset{\theta \to 0}{\lim }Y=1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}\mathrm{.}$$ したがって $P$ は $(0,1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}})$ に近づく。

対称性から中心Pを y 軸上に置く。中央の交点と右側の交点を結ぶ弦について、中点を通る垂直二等分線の傾きを使って中心の高さを直接表し、基本極限へ帰着する。

3点を$$A=(0,1),B=(\theta ,\cos k\theta ),C=(-\theta ,\cos k\theta )$$とする。対称性から円の中心は $P=(0,Y)$ と書ける。

弦 $AB$ の中点は$$M=({\displaystyle \frac{\theta }{2}},{\displaystyle \frac{1+\cos k\theta }{2}})$$である。$AB$ の傾きは $(\cos k\theta -1)\mathrm{/}\theta$ だから、その垂直二等分線の傾きは $\theta \mathrm{/}(1-\cos k\theta )$ である。$M$ から $x=0$ まで戻ると$$Y={\displaystyle \frac{1+\cos k\theta }{2}}-{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2(1-\cos k\theta )}}\mathrm{.}$$ここで$$\underset{\theta \to 0}{\lim }\cos k\theta =1,\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{2(1-\cos k\theta )}{{\theta }^2}}=k^2$$だから$$\underset{\theta \to 0}{\lim }Y=1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}}\mathrm{.}$$したがって $P$ は$$(0,1-{\displaystyle \frac{1}{k^2}})$$に近づく。