東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

$t=0$ で $y=1$ だから$$f(0)=1.$$座標を微分すると$$x^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\sin t+f\cos t,y^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}\cos t-f\sin t\mathrm{.}$$よって速さの2乗は$$(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2=(f^{\mathrm{\prime }}{)}^2+f^2\mathrm{.}$$速さが $2f(t)$ なので $f(t)\geqq 0$ であり、$$(f^{\mathrm{\prime }}{)}^2=3f^2\mathrm{.}$$$f(0)=1$ から正である区間では $f^{\mathrm{\prime }}$ の符号は途中で変わらない。
さらに原点へ近づく条件から $f(t)\to 0$ だから$$f^{\mathrm{\prime }}=-\sqrt{3}f\mathrm{.}$$初期条件を用いて$$f(t)=e^{-\sqrt{3}t}\mathrm{.}$$(2)

時刻0から $a$ までの道のり $L$ は$$L={\int }_0^{a}2f(t)dt=2{\int }_0^a{e}^{-\sqrt{3}t}dt={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}(1-e^{-\sqrt{3}a})\mathrm{.}$$

原点からの距離を半径 $r=f(t)$、偏角を $\theta =\pi \mathrm{/}2-t$ と読む。
半径方向と円周方向が直交することを成分で確かめ、速さの式を得る。

(1)

与式は$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$において$$r=f(t),\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-t$$とした形である。微分して2乗和を取ると、半径方向と円周方向の交差項が消え、$$(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2=(r^{\mathrm{\prime }}{)}^2+r^2({\theta }^{\mathrm{\prime }}{)}^2$$となる。ここで ${\theta }^{\mathrm{\prime }}=-1$ だから$${\text{速さ}}^2=(f^{\mathrm{\prime }}{)}^2+f^2\mathrm{.}$$したがって条件から$$(f^{\mathrm{\prime }}{)}^2=3f^2\mathrm{.}$$初期位置より $f(0)=1$、原点へ近づくことから半径は減少する。
よって$$f^{\mathrm{\prime }}=-\sqrt{3}f,f(t)=e^{-\sqrt{3}t}\mathrm{.}$$(2)

速さは $2e^{-\sqrt{3}t}$ なので$$L={\int }_0^{a}2e^{-\sqrt{3}t}dt={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}(1-e^{-\sqrt{3}a})\mathrm{.}$$