東北大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1)
点がすべて同一平面上にあると仮定する。その平面を $Ax+By+Cz+D=0$ とする。この平面にすべての点 $(\sin 2\theta ,\cos 2\theta ,2\cos \theta )$ があるなら $$A\sin 2\theta +B\cos 2\theta +2C\cos \theta +D=0$$ がすべての $\theta$ で成り立つ。 $\theta =0$ を代入すると $B+2C+D=0$ である。$\theta =\pi$ を代入すると $B-2C+D=0$ である。これらを引いて $C=0$ を得る。さらに $B+D=0$ である。 $\theta =\pi \mathrm{/}2$ を代入すると $-B+D=0$ である。これと $B+D=0$ から $B=D=0$ である。最後に $\theta =\pi \mathrm{/}4$ を代入すると $A=0$ である。

したがって平面の係数がすべて0になってしまい、平面を定められない。よって命題(1)は $\text{正しくない}$ である。

(2) $$x=\sin 2\theta ,y=\cos 2\theta ,z=2\cos \theta$$ とおく。まず $$x^2+y^2={\sin }^{2}2\theta +{\cos }^{2}2\theta =1$$ である。また $$z^2=4{\cos }^2\theta =2(1+\cos 2\theta )=2(1+y)$$ である。したがって $x^2+y^2+z^2-2y-3=0$ が成り立つ。これは $x^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ と書けるので、同一球面上にある。よって命題(2)は $\text{正しい}$ である。

(3) $u=2^t$ とおく。このとき $4^t=u^2$ であり、また $t={\log }_{2}u$ である。第2座標を $Y$、第3座標を $Z$ とすると $Y={\log }_2(1+u^2)$ である。一方 $$Z={\log }_2(u+u^{-1})={\log }_2{\displaystyle \frac{u^2+1}{u}}={\log }_2(1+u^2)-{\log }_{2}u=Y-t$$ である。したがって $Y-t-Z=0$ である。座標を $(X,Y,Z)$ と書けば $X=t$ なので $Y-X-Z=0$ という平面上にある。よって命題(3)は $\text{正しい}$ である。

(1) は $\theta$ と $-\theta$、$\pi -\theta$ を比べ、仮に平面があれば各係数が0になることを示す。(2)は三角関数を消去して球面の式を作る。(3)は $u=2^t$ とおいて対数の差を整理する。

(1)
すべての点が平面$$Ax+By+Cz+D=0$$上にあると仮定する。点の式を代入し、$\theta$ と $-\theta$ の式を引くと$$2A\sin 2\theta =0$$がすべての $\theta$ で成り立つので $A=0$ である。

次に $\theta$ と $\pi -\theta$ の式を引くと$$4C\cos \theta =0$$より $C=0$ である。残りは $B\cos 2\theta +D=0$ であり、
$\theta =0,\pi \mathrm{/}2$ を代入すると $B=D=0$ となる。これは平面を定めないので、
命題は正しくない。

(2) $$x=\sin 2\theta ,y=\cos 2\theta ,z=2\cos \theta$$とおくと$$x^2+y^2=1,z^2=2(1+y)\mathrm{.}$$よって$$x^2+(y-1{)}^2+z^2=4.$$したがって中心 $(0,1,0)$、半径2の同一球面上にあり、命題は正しい。

(3)
$u=2^t$ とおく。第2、第3座標を $Y,Z$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Z}& {\displaystyle ={\log }_2(u+u^{-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\log }_2(1+u^2)-{\log }_{2}u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =Y-t\mathrm{.}}\end{array}$$第1座標を $X=t$ と書けば$$Y-X-Z=0.$$したがって同一平面上にあり、命題は正しい。