東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
曲線を $y=\sqrt{3}e\log x$ とおく。$x=u$ における接線は、導関数 $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}e}{x}}$$ を用いて $$y=\sqrt{3}e\log u+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}e}{u}}(x-u)$$ である。
これが原点を通るためには $$0=\sqrt{3}e\log u-\sqrt{3}e$$ すなわち $\log u=1$ であればよい。よって $u=e$ である。
したがって接点は $A=(e,\sqrt{3}e)$ であり、接線は $y=\sqrt{3}x$ である。

(2)
円は $x$ 軸に接するので、中心を $P=(h,r)$ 半径を $r$ とおく。点 $A$ における共通接線の傾きは $\sqrt{3}$ であるから、半径 $PA$ はこの接線に垂直であり、傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。したがって $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}e-r}{e-h}}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。また $A$ は円周上にあるから $$(e-h{)}^2+(\sqrt{3}e-r{)}^2=r^2$$ である。

上の2式からは候補として $(h,r)=(2e,2e\mathrm{/}\sqrt{3})$ と $(h,r)=(-2e,2\sqrt{3}e)$ の2組を得る。後者では点 $A$ は円の下側の弧にあり、その弧の $x=e$ における第2導関数は $4\mathrm{/}(\sqrt{3}e)>0$ である。一方、曲線 $C$ の第2導関数は $-\sqrt{3}\mathrm{/}e<0$ だから、後者の円弧は $A$ の近くで曲線 $C$ より上側に出てしまう。したがって「曲線 $C$ の下側にある」という条件を満たすのは $h=2e,r=2e\mathrm{/}\sqrt{3}$ の方だけである。よって $$P=(2e,{\displaystyle \frac{2e}{\sqrt{3}}})$$ であり、$x$ 軸との接点は $B=(2e,0)$ である。

求める図形は、曲線 $C$ の $x=1$ から $x=e$ までの部分、円弧 $AB$、および $x$ 軸で囲まれる。曲線の下の面積は$${\int }_1^e\sqrt{3}e\log xdx=\sqrt{3}e[x\log x-x{]}_1^e=\sqrt{3}e$$である。

次に円弧 $AB$ を $$x=2e+r\cos \theta ,y=r+r\sin \theta$$ と表す。点 $A$ は $\theta =5\pi \mathrm{/}6$、点 $B$ は $\theta =3\pi \mathrm{/}2$ に対応し、この弧の中心角は $2\pi \mathrm{/}3<\pi$ である。したがって円弧の下の面積は$${\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}y{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}d\theta ={\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}(r+r\sin \theta )(-r\sin \theta )d\theta$$である。この値は$$-r^2{\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}(\sin \theta +{\sin }^2\theta )d\theta$$であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}\sin \theta d\theta }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},}\\ {\displaystyle {\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}{\sin }^2\theta d\theta }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$だから$${\int }_{5\pi \mathrm{/}6}^{3\pi \mathrm{/}2}ydx=r^2({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$である。$r^2=4e^2\mathrm{/}3$ を代入して、円弧部分の寄与は$${\displaystyle \frac{4e^2}{3}}({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=e^2({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{4\pi }{9}})$$となる。

したがって求める面積は $\sqrt{3}e+e^2({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{4\pi }{9}})$ である。整理すると ${\displaystyle \frac{e}{18}}\{18\sqrt{3}+(15\sqrt{3}-8\pi )e\}$ である。

曲線、$x$ 軸、中心角 $2\pi \mathrm{/}3$ の円弧で囲まれる領域

(1) 接点条件から $A=(e,\sqrt{3}e)$ と接線を求める。(2) 円の中心と半径を決めた後、境界を直線で結んだ三角形を基準にする。対数曲線と弦の間の面積を加え、円弧と弦の間の円弧部分を扇形から三角形を引いて求める。

(1) $x=u$ における接線は$$y=\sqrt{3}e\log u+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}e}{u}}(x-u)\mathrm{.}$$これが原点を通る条件は $\log u=1$ だから$$A=(e,\sqrt{3}e),y=\sqrt{3}x$$である。

(2) 円の中心を $P=(h,r)$ とする。$x$ 軸と接するので半径は $r$ である。$A$ における半径は傾き $-1\mathrm{/}\sqrt{3}$ をもち、かつ $PA=r$ である。条件を解いて「曲線の下側」にある方を選ぶと$$P=(2e,{\displaystyle \frac{2e}{\sqrt{3}}}),r={\displaystyle \frac{2e}{\sqrt{3}}},B=(2e,0)$$となる。半径 $PA,PB$ のなす小さい角は $2\pi \mathrm{/}3$ である。

$C=(1,0)$ とし、まず三角形 $CAB$ の面積を取る。$$[CAB]={\displaystyle \frac{1}{2}}(2e-1)\sqrt{3}e\mathrm{.}$$線分 $CA$ を対数曲線に置き換えると、増える面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_1^e\sqrt{3}e\log xdx-{\displaystyle \frac{1}{2}}(e-1)\sqrt{3}e}& {\displaystyle =\sqrt{3}e-{\displaystyle \frac{1}{2}}(e-1)\sqrt{3}e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}e(3-e)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$一方、線分 $AB$ と小さい弧 $AB$ の間の円弧部分は、中心角 $2\pi \mathrm{/}3$ の扇形から三角形 $PAB$ を引いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}^2\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\pi e^2}{9}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{e}^2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$この円弧は三角形 $CAB$ の内側へふくらむので、この面積を引く。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}e(2e-1)}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}e(3-e)}{2}}-({\displaystyle \frac{4\pi e^2}{9}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{e}^2}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{3}e+e^2({\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{6}}-{\displaystyle \frac{4\pi }{9}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e}{18}}\{18\sqrt{3}+(15\sqrt{3}-8\pi )e\}\mathrm{.}}\end{array}$$