東北大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

初めの濃度を $a_0=a,b_0=b$ とする。以下，$k$ 回の操作後の濃度を $a_k,b_k$ とする。

(1)
ある回の操作前の濃度を $a_k,b_k$ とする。まず $A$ から $1l$ を $B$ に移すと，$B$ には $5l$ の食塩水が入り，その濃度は $${\displaystyle \frac{1\cdot a_k+4\cdot b_k}{5}}={\displaystyle \frac{a_k+4b_k}{5}}$$ である。よく混ぜた後，この $B$ から $1l$ を $A$ に戻すので，操作後の $B$ の濃度は $$b_{k+1}={\displaystyle \frac{a_k+4b_k}{5}}$$ である。

一方，$A$ には初め $6l$ あったが，$1l$ を出した後に $5l$ が残る。その濃度はまだ $a_k$ である。そこへ濃度 $(a_k+4b_k)\mathrm{/}5$ の食塩水 $1l$ が戻るから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{k+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5a_k+{\displaystyle \frac{a_k+4b_k}{5}}}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{26a_k+4b_k}{30}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{13a_k+2b_k}{15}}}\end{array}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_{k+1}-a_{k+1}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_k+4b_k}{5}}-{\displaystyle \frac{13a_k+2b_k}{15}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3a_k+12b_k-13a_k-2b_k}{15}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}(b_k-a_k)}\end{array}$$となる。

よって $$b_k-a_k={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)$$ であり，$b_k-a_k$ は初項 $b-a$，公比 $2\mathrm{/}3$ の等比数列である。

(2)
操作では食塩水を2つの容器の間で移しているだけなので，全体の食塩量は変わらない。全体 $10l$ の平均濃度を $m$ とすると $$m={\displaystyle \frac{6a+4b}{10}}={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}$$ である。したがって任意の $k$ について $${\displaystyle \frac{6a_k+4b_k}{10}}=m$$ すなわち $3a_k+2b_k=5m$ が成り立つ。

また (1) より $$d_k=b_k-a_k={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)$$ である。$b_k=a_k+d_k$ を $3a_k+2b_k=5m$ に代入すると $3a_k+2(a_k+d_k)=5m$ より $$a_k=m-{\displaystyle \frac{2}{5}}{d}_k$$ である。さらに $$b_k=a_k+d_k=m+{\displaystyle \frac{3}{5}}{d}_k$$ である。

よって$$a_k={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)$$$$b_k={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)$$である。

全体の平均濃度 $m$ を先に固定し、各容器の濃度が $m$ からどれだけずれているかを追う。1回の操作で両方のずれが $2\mathrm{/}3$ 倍になることを示せば、差の等比性と一般項を同時に得られる。

初期値を $a_0=a,b_0=b$ とする。全体の食塩量は変わらないので、10リットル全体の平均濃度$$m={\displaystyle \frac{6a+4b}{10}}={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}$$は操作中ずっと一定である。

1回の操作によって$$a_{k+1}={\displaystyle \frac{13a_k+2b_k}{15}},b_{k+1}={\displaystyle \frac{a_k+4b_k}{5}}$$となる。ここで $3a_k+2b_k=5m$ を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{k+1}-m}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{13a_k+2b_k-15m}{15}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(a_k-m),}\\ {\displaystyle b_{k+1}-m}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a_k+4b_k-5m}{5}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(b_k-m)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$a_k-m={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(a-m),b_k-m={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-m)\mathrm{.}$$(1) 差を取れば$$b_k-a_k={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)$$であり、初項 $b-a$、公比 $2\mathrm{/}3$ の等比数列である。

(2) また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a),}\\ {\displaystyle b_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3a+2b}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^k(b-a)\mathrm{.}}\end{array}$$