東北大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

等差数列 $\{a_n\}$ は初項7、公差2であるから $a_n=7+2(n-1)=2n+5.$ 等比数列 $\{b_n\}$ は初項 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$、公比 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ であるから $$b_n={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n=3^{-n}\mathrm{.}$$ 与えられた等式の右辺を $$S_n={\displaystyle \frac{1}{3}}(n+1)(n+2)(n+3)$$ とおく。このとき $$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k{c}_k=S_n$$ であるから、$n\geqq 2$ では $a_n{b}_n{c}_n=S_n-S_{n-1}$ となる。右辺を計算すると $$S_n-S_{n-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\{(n+1)(n+2)(n+3)-n(n+1)(n+2)\}$$ $$={\displaystyle \frac{1}{3}}(n+1)(n+2)\{(n+3)-n\}=(n+1)(n+2)\mathrm{.}$$ $n=1$ でも同じ式が成り立つ。したがって $$(2n+5)3^{-n}{c}_n=(n+1)(n+2)$$ であり、$$c_n={\displaystyle \frac{3^n(n+1)(n+2)}{2n+5}}\mathrm{.}$$ (2)

(1) より $${\displaystyle \frac{1}{c_n}}={\displaystyle \frac{2n+5}{3^n(n+1)(n+2)}}\mathrm{.}$$ ここで $${\displaystyle \frac{2n+5}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{3}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}}$$ である。よって $${\displaystyle \frac{1}{c_n}}=({\displaystyle \frac{3}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}}){\displaystyle \frac{1}{3^n}}\mathrm{.}$$ 右辺は ${\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}(n+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{3^n(n+2)}}$ と書ける。

したがって第 $N$ 項までの和は$$\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{c_n}}=\sum _{n=1}^N\{{\displaystyle \frac{1}{3^{n-1}(n+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{3^n(n+2)}}\}\mathrm{.}$$これは途中の項が順に消えて $$\sum _{n=1}^N{\displaystyle \frac{1}{c_n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3^N(N+2)}}$$ となる。$N\to \mathrm{\infty }$ とすると ${\displaystyle \frac{1}{3^N(N+2)}}\to 0$ であるから $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{c_n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

一般項は部分和の階差から求める。(2)では消去和を使わず、分母 n+r の逆数の定積分表示と等比級数を組み合わせ、無限和全体を1本の定積分へ変える。

(1)
右辺を $S_n$ とおくと$$a_n{b}_n{c}_n=S_n-S_{n-1}=(n+1)(n+2)\mathrm{.}$$また $a_n=2n+5$、$b_n=3^{-n}$ だから$$c_n={\displaystyle \frac{3^n(n+1)(n+2)}{2n+5}}\mathrm{.}$$(2)
まず$${\displaystyle \frac{1}{c_n}}={\displaystyle \frac{1}{3^n}}({\displaystyle \frac{3}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})\mathrm{.}$$ここで$${\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\int }_0^1{x}^{n}dx,{\displaystyle \frac{1}{n+2}}={\int }_0^1{x}^{n+1}dx$$を用いる。$0\leqq x\leqq 1$ では等比級数が収束するので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{c_n}}}& {\displaystyle ={\int }_0^1(3-x)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{x}{3}}\right)}^{n}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1(3-x){\displaystyle \frac{x}{3-x}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{1}xdx={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$