東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
与えられた漸化式は $a_{k+1}=4a_k+3$ である。両辺に1を加えると $$a_{k+1}+1=4a_k+4=4(a_k+1)$$ となる。また $a_1+1=3+1=4$ である。したがって $a_n+1$ は初項4、公比4の等比数列であり、$a_n+1=4^n$ である。よって $a_n=4^n-1$ である。

(2) $(1)$ より $a_k+1=4^k$ であるから $${\log }_2(a_k+1)={\log }_2{4}^k=2k$$ である。同様に $${\log }_2(a_{k+1}+1)=2(k+1)$$ である。

したがって求める和は$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(a_k+1){\log }_2(a_{k+1}+1)}}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{(2k)2(k+1)}}$$である。すなわち $$={\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}$$ である。ここで $${\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}={\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$$ だから $$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}=1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$$ である。よって$$\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(a_k+1){\log }_2(a_{k+1}+1)}}={\displaystyle \frac{n}{4(n+1)}}$$である。

漸化式を繰り返し代入し、初項の寄与と定数項の等比和を分けて一般項を出す。対数を $2k$ に直した後、隣接項の差に分解して和を取る。

(1)
漸化式を順に戻すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =4^{n-1}{a}_1+3(1+4+\cdots +4^{n-2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\cdot 4^{n-1}+3\cdot {\displaystyle \frac{4^{n-1}-1}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4^n-1.}\end{array}$$(2)
$a_k+1=4^k$ なので$${\log }_2(a_k+1)=2k,{\log }_2(a_{k+1}+1)=2(k+1)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{{\log }_2(a_k+1){\log }_2(a_{k+1}+1)}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{k=1}^n({\displaystyle \frac{1}{k}}-{\displaystyle \frac{1}{k+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{4(n+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$