東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

漸化式は $a_{k+1}=r{a}_k-(r-1{)}^{2}k$ である。右辺が $k$ の一次式を含むので、$a_k$ が $k$ の一次式になると予想する。

実際、$a_k=(r-1)k+1$ とおくと、初項は $a_1=(r-1)+1=r$ となり、与えられた $a_1=r$ と一致する。また、この式が $k$ で成り立つとすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r{a}_k-(r-1{)}^{2}k}& {\displaystyle =r\{(r-1)k+1\}-(r-1{)}^{2}k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{r(r-1)-(r-1{)}^2\}k+r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r-1)k+r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r-1)(k+1)+1.}\end{array}$$したがって $a_{k+1}=(r-1)(k+1)+1$ である。数学的帰納法により $a_k=(r-1)k+1$ がすべての自然数 $k$ で成り立つ。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n\{(r-1)k+1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r-1){\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+n\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\sum _{k=1}^n{a}_k=(r-1){\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+n$$である。

一般項そのものを予想せず、差 $d_k=a_{k+1}-a_k$ に注目する。元の漸化式を $k+1$ と $k$ で書いて引くと、$d_k$ だけの一次漸化式になる。初めの差がその漸化式の不変値 $r-1$ に一致するため、元の数列が等差数列だと分かり、和を直ちに求められる。

まず$$a_2=r{a}_1-(r-1{)}^2=r^2-(r-1{)}^2=2r-1$$だから$$d_1=a_2-a_1=r-1$$である。ここで $d_k=a_{k+1}-a_k$ とおく。元の漸化式を連続する二つの添字で書いて引くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle d_{k+1}}& {\displaystyle =a_{k+2}-a_{k+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r(a_{k+1}-a_k)-(r-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r{d}_k-(r-1{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$もし $d_k=r-1$ なら$$d_{k+1}=r(r-1)-(r-1{)}^2=r-1.$$初めに $d_1=r-1$ だから、帰納的に全ての $k$ で $d_k=r-1$ である。

したがって $\{a_k\}$ は初項 $r$、公差 $r-1$ の等差数列であり$$a_k=r+(k-1)(r-1)=(r-1)k+1.$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n}{2}}\{2r+(n-1)(r-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(r-1){\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+n\mathrm{.}}\end{array}$$$r=1$ のときも $d_k=0$ となり、同じ式が成り立つ。